Twierdzenie Parsevala

Twierdzenie Parsevala – tożsamość, która wynika z własności unitarności transformacji Fouriera, co nieformalnie można określić, że suma (lub całka) kwadratu funkcji równa się sumie (lub całce) kwadratu jej transformaty. W 1799 roku twierdzenie na temat szeregów sformułował Mark-Antoine Parseval, które później zostało zastosowane do szeregu Fouriera.

Chociaż termin „twierdzenie Parsevala” jest często używany aby opisać unitarność dowolnej transformaty Fouriera, zwłaszcza w fizyce i inżynierii. to bardziej właściwym terminem dla tej własności jest twierdzenie Plancherela.

Opis twierdzenia Parsevala

Jeżeli funkcje $A(x)$ i $B(x)$ całkowalne z kwadratem (w sensie miary Lebesgue’a) o wartościach zespolonych nad R, okresowe o okresie $2\pi ,$ zapiszemy za pomocą szeregów Fouriera

$A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}$

oraz

$B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{inx},$

to zachodzi równość

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }A(x){\overline {B(x)}}dx,$

gdzie $i$ oznacza jednostkę urojoną a pozioma kreska nad wyrażeniem oznacza sprzężenie zespolone.

Ta postać twierdzenia występuje w literaturze pod nazwą uogólnione twierdzenie Rayleigha, natomiast nazwa twierdzenie Parsevala, zwanego również twierdzeniem o energii dotyczy przypadku szczególnego, w którym za $B(x)$ jest podstawione $A(x)$.

Zapis stosowany w inżynierii i fizyce

W fizyce i inżynierii twierdzenie Parsevala często jest zapisywane jako:

$\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}df,$

gdzie $X(f)={\mathcal {F}}\{x(t)\}$ przedstawia ciągłą transformację Fouriera (w unormowanej, unitarnej postaci) z $x(t),$ a $f$ przedstawia składową częstotliwości (nie pulsację) w $x.$

Interpretacja takiego zapisu jest taka, że całkowita energia zawarta w sygnale $x(t)$ w całym przedziale czasu jest równa sumie energii składowych uzyskanych z transformacji Fouriera zsumowanych w całym przedziale częstotliwości $f.$

Dla sygnałów dyskretnych twierdzenie przyjmuje postać:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|X(e^{i\phi })|^{2}d\phi ,$

gdzie $X$ jest dyskretną w czasie transformacją Fouriera (DTFT) z $x,$ a $\phi$ oznacza pulsację (w radianach na sekundę) w $x.$

Alternatywną formą jest postać dla dyskretnej transformacji Fouriera:

$\sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2},$

gdzie $X[k]$ to DFT z $x[n]$ oraz obie tablice są o długości $N.$

Bibliografia

• JerzyJ. Szabatin JerzyJ., Przetwarzanie sygnałów [online], 4 lutego 2005 [dostęp 2013-03-03] [zarchiwizowane z adresu 2007-02-06] .
• GrzegorzG. Łysik GrzegorzG., Szeregi Fouriera [online], 1 lutego 2007 [dostęp 2013-03-03] [zarchiwizowane z adresu 2011-06-26] .

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Parseval’s Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• Parseval equality (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].