Subróżniczka

Subróżniczka, subgradient, subpochodna (podróżniczka, podgradient, podpochodna) – pojęcia pojawiające się w analizie wypukłej, czyli badaniu funkcji wypukłych, często w powiązaniu z optymalizacją wypukłą.

Motywacja

Niech $f\colon I\to \mathbb {R}$ będzie funkcją wypukłą o wartościach rzeczywistych określoną na przedziale otwartym prostej rzeczywistej. Taka funkcja nie musi być różniczkowalna w każdym punkcie: przykładowo funkcja wartości bezwzględnej określona wzorem $f(x)=|x|$ jest nieróżniczkowalna dla $x=0.$ Jednakże, jak widać na rysunku po prawej, dla każdego $x_{0}$ należącego do dziedziny można nakreślić prostą przechodzącą przez punkt ${\bigl (}x_{0},f(x_{0}){\bigr )},$ która w każdym punkcie albo jest styczna, albo leży poniżej wykresu $f.$ Właśnie nachylenie tej prostej nazywane jest podpochodną (gdyż prosta leży pod wykresem).

Definicja

Subpochodną funkcji wypukłej $f\colon I\to \mathbb {R}$ w punkcie $x_{0}$ należącym do przedziału otwartego $I$ nazywa się taką liczbę rzeczywistą $c,$ że

f(x)-f(x_{0})\geqslant c(x-x_{0})

dla każdego $x$ należącego do $I.$ Można pokazać, że zbiór podpochodnych w punkcie $x_{0}$ jest niepustym przedziałem domkniętym $[a,b],$ gdzie $a$ oraz $b$ oznaczają granice jednostronne

a=\lim _{x\to x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}

oraz

b=\lim _{x\to x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},

które zawsze istnieją i spełniają $a\leqslant b.$

Zbiór $[a,b]$ wszystkich podpochodnych nazywa się subróżniczką funkcji $f$ w punkcie $x_{0}.$

Przykłady

Niech dana będzie funkcja wypukła $f(x)=|x|.$ Jej subróżniczką w początku układu jest przedział $[-1,1].$ subróżniczka w dowolnym punkcie $x_{0}<0$ jest równa zbiorowi jednoelementowemu $\{-1\},$ zaś w punktach $x_{0}>0$ jest nią zbiór $\{1\}.$

Własności

Funkcja wypukła $f\colon I\to \mathbb {R}$ jest różniczkowalna w punkcie $x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jej subróżniczka składa się tylko z jednego punktu, który jest pochodną w $x_{0}.$
Punkt $x_{0}$ jest minimum globalnym funkcji $f$ wtedy i tylko wtedy, gdy zero zawiera się w subróżniczce, tzn. na powyższym rysunku można nakreślić tylko poziomą „podstyczną” do wykresu $f$ w punkcie ${\bigl (}x_{0},f(x_{0}){\bigr )}.$ Własność ta jest uogólnieniem faktu, że pochodna funkcji różniczkowalnej zeruje się w minimum lokalnym.

Subgradient

Zobacz też: gradient (matematyka).

Pojęcia subpochodnej i subróżniczki mogą być uogólnione na funkcje wielu zmiennych. Jeżeli $f\colon U\to \mathbb {R}$ jest funkcją wypukłą o wartościach rzeczywistych określoną na wypukłym podzbiorze otwartym przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{n},$ to wektor $\mathbf {v}$ tej przestrzeni nazywa się subgradientem w punkcie $\mathbf {x} _{0}$ należącym do $U,$ jeśli dla każdego $\mathbf {x}$ z $U$ zachodzi

f(\mathbf {x} )-f(\mathbf {x} _{0})\geqslant \mathbf {v} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}),

gdzie mnożenie po prawej oznacza iloczyn skalarny.

Zbiór wszystkich subgradientów w $x_{0}$ nazywa się subróżniczką w $\mathbf {x} _{0}$ i oznacza symbolem $\partial f(\mathbf {x} _{0}).$ Subróżniczka jest zawsze niepustym, wypukłym zbiorem zwartym (tzn. domkniętym i ograniczonym).

Pojęcia te uogólniają się dalej na funkcje wypukłe $f\colon U\to \mathbb {R}$ określone na podzbiorze wypukłym przestrzeni lokalnie wypukłej $V.$ Funkcjonał $\mathbf {v} ^{*}$ należący do przestrzeni sprzężonej $V^{*}$ nazywa się subgradientem w $\mathbf {x} _{0}$ należącym do $U,$ jeżeli

f(\mathbf {x} )-f(\mathbf {x} _{0})\geqslant \mathbf {v} ^{*}(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}).

Zbiór wszystkich subgradientów w punkcie $\mathbf {x} _{0}$ nazywa się subróżniczką w $x_{0}$ i także oznacza symbolem $\partial f(\mathbf {x} _{0}).$ Subróżniczka zawsze jest wypukłym zbiorem domkniętym. Zbiór ten może być pusty: przykładem może być operator nieograniczony, który jest wypukły, lecz nie ma subgradientu. Jeśli $f$ jest ciągła, to subróżniczka nie jest pusta.

Zobacz też

słaba pochodna

Bibliografia

Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal: Fundamentals of Convex Analysis. Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6.