Splot (analiza matematyczna)

Splot, splot całkowy, mnożenie splotowe lub konwolucja – działanie określone dla dwóch funkcji (lub opisywanych przez nie sygnałów) dające w wyniku inną, która może być postrzegana jako zmodyfikowana wersja oryginalnych funkcji. Nazwą tą określa się również wynik tego działania, które bywa nazywane także iloczynem (lub produktem) splotowym. Splot podobny jest do korelacji wzajemnej.

Znajduje zastosowania także m.in. w statystyce, równaniach różniczkowych, elektrotechnice, cyfrowym przetwarzaniu obrazów czy sygnałów – na przykład, w przetwarzaniu obrazów operacja splotu obrazu źródłowego z odpowiednio skonstruowanym filtrem pozwala na wykrycie krawędzi (np. filtr Sobela), rozmycie obrazu (np. filtr Gaussa) oraz pozwala na ekstrakcję cech kształtów przy rozpoznawaniu wzorców obiektów w obrazie (falki Gabora), jak i wielu innych.

Operacja odwrotna do splotu nazywana jest rozplotem.

Istnienie i określenie

Niech $f$ i $g$ są bezwzględnie całkowalne w przedziale $(-\infty ,\infty );$ innymi słowy, są całkowalne w sensie Lebesgue’a, czyli należą do przestrzeni $L^{1}(\mathbb {R} ).$

Wówczas wzór:

$(f*g)(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )d\tau$

określa funkcję $f*g,$ zdefiniowaną dla prawie wszystkich liczb rzeczywistych $t.$ Funkcję $f*g$ nazywa się splotem (dwustronnym) funkcji $f$ z funkcją $g$ i na mocy twierdzenia Fubiniego utożsamia się z elementem przestrzeni $L^{1}(\mathbb {R} ).$

W zastosowaniach często ogranicza się do założenia o zbieżności całek niewłaściwych Riemanna na całej prostej tych funkcji oraz ich modułów.

Splot bramki napięcia $x(t)$ (jako sygnału wejściowego) i odpowiedzi impulsowej $h(t)$ obwodu RC, obliczony dla uzyskania przebiegu sygnału wyjściowego $y(t)=U_{C}(t).$ Całka iloczynu jest zaznaczona obszarem żółtym. W obu animacjach wynik splotu jest taki sam.

Struktura algebry Banacha

Przestrzeń $L^{1}(\mathbb {R} )$ z dodatkowym działaniem splotu jest algebrą przemienną, tzn. splot jest działaniem:

• przemiennym

$f_{1}*f_{2}=f_{2}*f_{1}$ (wynika to z możliwości zastosowania podstawienia $u=t-\tau$),

• łącznym

$\left(f_{1}*f_{2}\right)*f_{3}=f_{1}*\left(f_{2}*f_{3}\right),$

• rozdzielnym względem dodawania

$f_{1}*\left(f_{2}+f_{3}\right)=f_{1}*f_{2}+f_{1}*f_{3}.$

• łącznym względem mnożenia przez skalary

$c\left(f_{1}*f_{2}\right)=\left(cf_{1}\right)*f_{2}=f_{1}*\left(cf_{2}\right),$

gdzie $f_{1},f_{2},f_{3}\in L^{1}(\mathbb {R} )$ oraz $c$ jest skalarem.

Dla normy splotu funkcji $f_{1}$ z funkcją $f_{2}$ zachodzi oszacowanie

$\|f_{1}*f_{2}\|_{L^{1}(\mathbb {R} )}\leqslant \|f_{1}\|_{L^{1}(\mathbb {R} )}\cdot \|f_{2}\|_{L^{1}(\mathbb {R} )},$

a więc algebra $L^{1}(\mathbb {R} )$ jest przemienną algebrą Banacha bez jedynki. Jedynkę można aproksymować w następującym sensie: jeśli $f$ jest elementem przestrzeni $L^{1}(\mathbb {R} ),$ to istnieje taki ciąg $(e_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ elementów $L^{1}(\mathbb {R} )$ o normie 1, że

$\|e_{n}*f-f\|{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0,$

$\|f*e_{n}-f\|{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0.$

Lokalnie zwarte grupy topologiczne

Definicja splotu funkcji przenosi się mutatis mutandis na przypadek lokalnie zwartej grupy topologicznej $G$ z lewostronnie niezmienniczą miarą Haara $\mu .$ Dokładniej, jeżeli $f$ i $g$ są elementami $L^{1}(G),$ to wzór

$(f*g)(t)=\int \limits _{G}f(\tau )g(t\tau ^{-1})d\mu (\tau )$

określa funkcję zdefiniowaną dla prawie każdego elementu $t$ grupy $G.$ Podobnie jak w przypadku miary Lebesgue’a (która jest miarą Haara grupy addytywnej zbioru liczb rzeczywistych) przestrzeń $L^{1}(G)$ tworzy z działaniem splotu algebrę Banacha, która jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy grupa $G$ jest przemienna.

Splot cykliczny (kołowy)

Splot okresowej bramki napięcia $x_{T}$ (jako sygnału wejściowego) i odpowiedzi impulsowej h(t) obwodu RC, obliczony dla uzyskania przebiegu sygnału wyjściowego $y(t)=U_{C}(t).$ Całka iloczynu jest zaznaczona obszarem żółtym. W obu animacjach wynik splotu jest taki sam.

Dla funkcji okresowej $x_{T},$ o okresie $T,$ splot z inną funkcją $h,$ jest także okresowy, i może być wyrażony za pomocą całki w skończonym przedziale:

${\begin{aligned}(x_{T}*h)(t)\quad &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }h_{T}(t-\tau )\cdot x(\tau )\,d\tau \\&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h_{T}(t\circleddash \tau )\cdot x(\tau )\,d\tau \\&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+t}h_{T}(t-\tau )\cdot x(\tau )\,d\tau \\&+\int _{t_{o}+t}^{t_{o}+T}h_{T}(t-\tau +T)\cdot x(\tau )\,d\tau ,\end{aligned}}$

gdzie $t_{o}$ jest czasem początkowym,

$t\circleddash \tau =\left\{{\begin{matrix}t-\tau &{\mbox{jeśli}}&t-\tau \in [t_{o},t_{o}+T)\\t-\tau +T&&{\mbox{w przeciwnym razie}}\end{matrix}}\right.$

$h_{T},$ $x_{T}$ są sumą okresową zdefiniowaną jako:

$h_{T}(t)\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t+kT),\ x_{T}(t)\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(t+kT).$

Splot dyskretny

Zbiór liczb całkowitych $\mathbb {Z}$ z dodawaniem jest lokalnie zwartą grupą topologiczną, gdy w $\mathbb {Z}$ rozważana jest topologia dyskretna. Odpowiadającą miarą Haara jest w tym wypadku miara licząca na rodzinie wszystkich podzbiorów zbioru liczb całkowitych. Splot ciągów sumowalnych (numerowanych liczbami całkowitymi) wyraża się więc wzorem

$(f*g)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[m]\,g[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[n-m]\,g[m]$

i pokrywa z iloczynem Cauchy’ego szeregów (zapis $f[n]$ jest popularny w technice i oznacza $n$-ty wyraz ciągu (sygnału) $f$). W zastosowaniach, dopuszcza się splatanie ciągów skończonych, które utożsamia się z ciągami nieskończonymi, które mają pozostałe wyrazy równe 0.

Realizacja splotu dla sygnałów jednowymiarowych (dźwięk, sygnały EEG itp.)

Niech $x$ oraz $h$ będą sygnałami wejściowymi (w ujęciu programistycznym mogą to być tablice, wektory lub inne rodzaje kontenerów). Splot

$y[n]=(x*h)[n]$

określa sygnał wyjściowy $y.$ $x[n]$ można interpretować jako $n$-tą próbkę pozyskaną z sygnału wejściowego $x.$

Bardzo często dwa sygnały wejściowe, na których realizuje się splot, klasyfikuje się jako sygnał podstawowy (przetwarzany) oraz sygnał przetwarzający (filtr). W sygnałach jedno-wymiarowych występują filtry dolno-, górno-, pasmowo- przepustowe lub zaporowe.

Realizacja splotu dla sygnałów dwuwymiarowych (np. obrazów itd.)

W przypadku sygnałów dwuwymiarowych położenie jest określone przez dwie zmienne $a$ i $h$ (elementy $L^{1}(\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} )$), których splot $c$ wyraża się wzorem

$c[m,n]=(a*h)[m,n]=\sum _{j}\sum _{k}{h[j,k]a[m-j,n-k]}.$

Splot jest w tym przypadku prostym wymnożeniem wartości z obu sygnałów wejściowych, a następnie ich zsumowanie. Praktyczną realizację przedstawia rysunek:

Dyskretny splot dwóch macierzy

	1	2	3			1	0	1
x	4	5	6	✱	h	0	1	0
	7	8	9			1	0	1
			1	2	4	2	3
			4	6	12	8	6
	=	y	8	14	25	16	12
			4	12	18	14	6
			7	8	16	8	9

W celu obliczenia splotu sygnałów w tym przypadku, wykonane są działania:

• $y[0,0]=x[0,0]\cdot h[0,0]=1\cdot 1=1$
• $y[0,1]=x[0,1]\cdot h[0,0]+x[0,0]\cdot h[0,1]=2\cdot 1+1\cdot 0=2$
• $y[0,2]=x[0,2]\cdot h[0,0]+x[0,1]\cdot h[0,1]+x[0,0]\cdot h[0,2]=3\cdot 1+2\cdot 0+1\cdot 1=4$ itd.

Wartości pod indeksami w praktyce mogą być, na przykład, wartościami kolorów dla danych pikseli obrazu.

Problem brzegu

W realizacji splotu zastosowanej powyżej założono, iż wartości poza sygnałem są równe 0. Stąd brak wymnożeń z elementami spoza zakresu. Problem ten występuje tylko na „krawędziach” sygnałów i często jest identyfikowany jako tzw. problem brzegu. Przy dużych sygnałach ma on przeważnie małe znaczenie dla wyniku splotu. Podejście stosowane do rozwiązania problemu zależy często od specyfiki sygnałów oraz od celu w jakim dokonywana jest operacja splotu.

Przykładowe metody rozwiązania problemu brzegu:

• przyjęcie założenia, że poza znanym sygnałem są wyłącznie wartości 0 – rozwiązanie to zastosowano w przedstawionym przykładzie,
• odbicie obrazu poza jego granicami,
• powtórzenie obrazu, bez odbicia,
• powielenie brzegowych wartości,
• modyfikacji maski filtru na brzegu sygnału (obrazu) tak by maska nie wychodziła poza obraz.

Splot jednostronny

W tym paragrafie będziemy zakładać bezwzględną całkowalność funkcji $f_{1}$ i $f_{2}$ w każdym przedziale postaci $(t_{1},t_{2})$ dla $0\leqslant t_{1}<t_{2}<+\infty .$ Splot jednostronny określa się jako funkcję $f_{1}*f_{2}$ zmiennej $t\geqslant 0$ wzorem

$(f_{1}*f_{2})(t)=\int \limits _{0}^{t}f_{1}(\tau )f_{2}(t-\tau )d\tau .$

Podobnie jak w przypadku splotu dwustronnego, powyższy wzór ma sens dla prawie wszystkich $t.$ Splot jest funkcją prawie wszędzie ciągłą w przedziale $[0,\infty ).$ Ponadto o ile tylko jedna z funkcji $f_{1},f_{2}$ jest ograniczona na każdym przedziale postaci $[0,T]$ $T>0,$ to splot $f_{1}*f_{2}$ jest określony wszędzie oraz jest ciągły w każdym punkcie, a także

$\lim _{t\to 0^{+}}(f_{1}*f_{2})(t)=0.$

Wynika stąd w szczególności, że splot jest ciągły gdy chociaż jedna z funkcji $f_{1},f_{2}$ jest ciągła. Prawdziwe jest także, następujące twierdzenie Titchmarsha, mówiące, że splot jest funkcją zerową wtedy i tylko wtedy, gdy chociaż jedna z funkcji $f_{1},f_{2}$ jest funkcją zerową prawie wszędzie. Twierdzenie to nie jest prawdziwe dla splotów w $(-\infty ,\infty ).$

Działanie splotu jest operatorem liniowym ze względu na obydwa argumenty, tzn. jest operatorem dwuliniowym.

Zbiór funkcji ciągłych, o wartościach zespolonych lub rzeczywistych, określonych na przedziale $[0,\infty )$ z działaniami dodawania i splatania tworzy pierścień przemienny bez jedynki. Pierścień ten nazywany jest pierścieniem Mikusińskiego.

Całka Duhamela

Pochodna splotu dwóch funkcji $f_{1}$ i $f_{2},$ tj.

${\frac {d}{dt}}(f_{1}*f_{2})(t)={\frac {d}{dt}}\int \limits _{0}^{t}f_{1}(\tau )f_{2}(t-\tau )d\tau$

nazywana jest całką Duhamela. Jeśli $f_{1}$ jest dla $t\geqslant 0$ funkcją ciągłą, a $f_{2}$ dla $t>0$ funkcją różniczkowalną, to zgodnie z twierdzeniem Leibniza o różniczkowaniu całki, jako funkcji parametru wynika, że

${\frac {d}{dt}}(f_{1}*f_{2})(t)={\frac {d}{dt}}\int \limits _{0}^{t}f_{1}(\tau )f_{2}(t-\tau )d\tau =f_{1}(t)f_{2}(0^{+})+\int \limits _{0}^{t}f_{1}(\tau )f_{2}'(t-\tau )d\tau =f_{1}(t)f_{2}(0^{+})+(f_{1}*f_{2}')(t).$

Jeśli obydwie funkcje $f_{1},f_{2}$ mają ciągłe pochodne w przedziale $t>0,$ to

${\frac {d}{dt}}(f_{1}*f_{2})(t)=f_{1}(0^{+})f_{2}(t)+(f_{1}'*f_{2})(t).$

Związki z transformatami

Jeśli funkcje $f_{1},f_{2}$ są bezwzględnie transformowalne (w sensie Laplace’a) oraz chociaż jedna z nich jest ograniczona w każdym przedziale $[0,T]$ dla $T>0,$ to

${\mathcal {L}}[f_{1}*f_{2}]={\mathcal {L}}[f_{1}]\cdot {\mathcal {L}}[f_{2}].$

Powyższe twierdzenie nazywane jest często twierdzeniem Abela. Założenie ograniczoności przynajmniej jednej z funkcji $f_{1},f_{2}$ można zastąpić innym, gwarantującym istnienie splotu $f_{1}*f_{2}$ dla każdego $t\geqslant 0.$ W szczególności, twierdzenie jest prawdziwe, gdy przynajmniej jedna z tych funkcji jest ciągła.

Podobnie dla transformaty Fouriera zachodzi twierdzenie

${\mathcal {F}}[f_{1}*f_{2}]={\mathcal {F}}[f_{1}]\cdot {\mathcal {F}}[f_{2}].$

Jedną z operacji, którą można wyrazić jako splot skończony jest mnożenie dwóch liczb w reprezentacji pozycyjnej. Innym zastosowaniem są filtry cyfrowe. W celu przyśpieszenia obliczeń dla dużych ciągów, często używa się twierdzenia o transformacie Fouriera splotu, co umożliwia implementację splotu o złożoności obliczeniowej rzędu $O(n\log n)$ w porównaniu do zwyczajowej $O(n^{2}),$ wykorzystując dwie szybkie transformacje Fouriera, a następnie jedną szybką transformację odwrotną Fouriera.

Splot miar

Naturalny odpowiednik splotu funkcji liczbowych definiuje się dla miar borelowskich. Dokładniej, jeśli $\mu ,\nu$ są miarami borelowskimi na prostej, to funkcję

$(\mu *\nu )(B)=\int \limits _{\mathbb {R} }\mu (B-y)\nu (dy)$

nazywamy splotem miar $\mu$ i $\nu .$

Okazuje się, że jeżeli $\xi$ i $\eta$ są niezależnymi zmiennymi losowymi na pewnej przestrzeni probabilistycznej o rozkładach odpowiednio $\mu$ i $\nu ,$ to $\mu *\nu$ jest rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej $\xi +\eta .$

Jeżeli dodatkowo, jedna z tych zmiennych ma rozkład ciągły – np. funkcja $g$ jest gęstością zmiennej $\xi$ to zmienna $\xi +\eta$ ma rozkład ciągły o gęstości

$(g*\mu )(t):=\int \limits _{\mathbb {R} }g(t-x)\mu (dx),$

którą nazywamy splotem gęstości z miarą (w tym wypadku probabilistyczną).

Zobacz też

• autokorelacja

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. II. Warszawa: PWN, 1966. Brak numerów stron w książce
• Bolesław Gleichgewicht: Elementy algebry abstrakcyjnej. Warszawa: PZWS, 1966. Brak numerów stron w książce
• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004, s. 103.
• Jerzy Osiowski: Zarys rachunku operatorowego. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1965. Brak numerów stron w książce
• Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1998, s. 158–160.
• Tomasz P. Zieliński: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów: od teorii do zastosowań. Wyd. II popr. Warszawa: Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 2007. ISBN 978-83-206-1640-8. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• PrzemysławP. Korohoda PrzemysławP., Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów [online], AGH [zarchiwizowane z adresu 2016-03-04]  (pol.).