Regula falsi

Regula falsi (łac. fałszywa linia prosta, fałszywa reguła) – algorytm rozwiązywania równań nieliniowych jednej zmiennej.

Dwie pierwsze iteracje algorytmu, dla przykładowej funkcji (oznaczona na czarno); na czerwono zaznaczono sieczne; trzecia sieczna wyznacza czerwony punkt, który jest pierwiastkiem funkcji

Na funkcję $y=f(x)$ nakładane są następujące ograniczenia:

1. W przedziale [a,b] znajduje się dokładnie jeden pojedynczy pierwiastek.
2. Na końcach przedziału funkcja ma różne znaki: $f(a)f(b)<0.$
3. Pierwsza i druga pochodna istnieją i mają na tym przedziale stałe znaki.

Algorytm przebiega następująco:

• Na początku przez punkty $A=(a,f(a))$ i $B=(b,f(b))$ przeprowadzana jest cięciwa.
• Punkt przecięcia $x_{1}$ z osią OX jest brany jako pierwsze przybliżenie pierwiastka.
• Jeśli to przybliżenie jest wystarczająco dobre, algorytm kończy się.
• Jeśli nie, to prowadzona jest cięciwa przez punkty $(x_{1},f(x_{1}))$ oraz $A$ lub $B$ – wybierany jest ten punkt, którego rzędna ma znak przeciwny do $f(x_{1}).$ Jednak w praktyce, dzięki ograniczeniu nr 3 już na początku algorytmu wiadomo, który z tych punktów będzie stały, tzn. wybierany za każdym razem.
• Następnie wyznaczane jest przecięcie nowo wyznaczonej cięciwy z osią OX $(x_{i})$ i algorytm powtarza się.

Nazwa metody pochodzi od łacińskich słów: regula znaczące zarówno linię prostą, jak i regułę i falsus, fałszywy – metoda bazuje na fałszywym twierdzeniu (regule), że na pewnym przedziale funkcja jest liniowa. Można więc tę nazwę przetłumaczyć zarówno jako „fałszywa linia prosta”, jak i „fałszywa reguła” i obydwa te tłumaczenia mają w tym kontekście sens.

Wzory

$x_{1}={\frac {af(b)-bf(a)}{f(b)-f(a)}}$

$x_{i+1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {x_{i}f(a)-af(x_{i})}{f(a)-f(x_{i})}}&gdy&f(a)f(x_{i})<0\\[.5em]{\frac {x_{i}f(b)-bf(x_{i})}{f(b)-f(x_{i})}}&gdy&f(b)f(x_{i})<0\end{matrix}}\right.$

dla $i=1,2,...$

Inne numeryczne metody wyznaczania pierwiastków równania nieliniowego:

• algorytm Illinois (zmodyfikowana metoda siecznych)
• metoda bisekcji
• metoda Newtona (metoda stycznych)
• metoda siecznych
• odwrotna interpolacja kwadratowa

Linki zewnętrzne

• [1]