Rachunek różnicowy

Podstawowe typy różnic skończonych

Trzy typy różnic skończonych: backward (w tył), central (centralna), forward (w przód). Różnica centralna wokół x daje najlepsze przybliżenie pochodnej funkcji w punkcie $x$.

Podstawowym pojęciem rachunku różnicowego jest pojęcie różnic skończonych. Rozważa się trzy podstawowe typy różnic skończonych: różnica w przód, różnica w tył oraz różnica centralna.

Różnica w przód $\Delta _{h}[f]$ dla funkcji $f$ używa wartości funkcji w punktach $x+h$ i $x$:

$\Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x)$

W zależności od zastosowania odległość $h$ może być zmienna lub stała.

Gdy nie jest podane, $h$ domyślnie przyjmuje wartość 1, czyli

$\Delta [f](x)=\Delta _{1}[f](x)=f(x+1)-f(x)$

Różnica w tył $\nabla _{h}[f]$ używa wartości funkcji w punktach $x$ i $x-h$, zamiast wartości w punktach $x+h$ i $x$:

$\nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h)=\Delta _{h}[f](x-h)$

Różnica centralna $\delta _{h}[f]$ określona wzorem:

$\delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {h}{2}})-f(x-{\tfrac {h}{2}})$

$=\Delta _{h/2}[f](x)+\nabla _{h/2}[f](x)$

Pochodna funkcji jednej zmiennej i wzór różnicowy

Pochodną funkcji zmiennej rzeczywistej $F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ pochodną definiuje się za pomocą granicy ilorazu różnicowego

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

W matematyce dyskretnej odpowiednikiem tego wzoru jest wzór różnicowy:

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}$

Różnice skończone dla funkcji wielu zmiennych

Oblicza się także różnice skończone w przypadku funkcji wielu zmiennych; są one dyskretnym odpowiednikiem pochodnych cząstkowych. Np. dla pochodnych pierwszego i drugiego rzędu mamy następujące wzory:

${\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\approx {\frac {f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}}$

${\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}}$

${\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x^{2}}}\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial y^{2}}}\approx {\frac {f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y}}\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}}$

Rachunek różnicowy na funkcjach ze zbioru liczb naturalnych

W przypadku funkcji zmiennej rzeczywistej $F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ pochodną definiuje się jako

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

W dziedzinie ciągów liczbowych czy w kombinatoryce operujemy na funkcjach o dziedzinie liczb naturalnych, $F\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} .$ W tym przypadku do wartości $f(x)$ możemy się zbliżyć najbliżej na odległość równą 1, czyli obliczamy $f(x+1).$ Dlatego $\Delta f(x)=f(x+1)-f(x).$

Odpowiednikiem funkcji potęgowej o wykładniku całkowitym jest tu tzw. potęga krocząca ubywająca $x^{\underline {m}}$ lub przyrastająca $x^{\overline {m}}.$ Działanie operatora $\Delta$ na funkcję $x^{\underline {m}}$ daje w wyniku:

$\Delta (x^{\underline {m}})=(x+1)^{\underline {m}}-x^{\underline {m}}=mx^{\underline {m-1}}.$

Jest to wzór analogiczny do pochodnej funkcji potęgowej $D(x^{m})=mx^{m-1}.$

Operator $\Delta ,$ podobnie jak operator $D$ jest przekształceniem liniowym:

$\Delta (f+g)=\Delta (f)+\Delta (g),$

$\Delta (cf)=c\Delta (f).$

Istnieje operacja odwrotna do różnicowania – jest to sumowanie, dyskretna analogia całki. Występuje ona również w wersji nieoznaczonej i oznaczonej. W szczególności

$\sum x^{\underline {m}}\delta x={\begin{cases}{\frac {x^{\underline {m+1}}}{m+1}}\quad m\neq -1\\H_{x}\quad m=-1\end{cases}},$

co przypomina wzór na całkę $\int x^{m}dx.$

Przekształcenie Abela jest dyskretnym odpowiednikiem całkowania przez części.

Zobacz też

• matematyka dyskretna

Bibliografia

W języku polskim

• Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne Podręczniki akademickie Elektronika, informatyka, telekomunikacja, Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1982, s. 285–312.
• D. Potter, Metody obliczeniowe fizyki, fizyka komputerowa, Warszawa: PWN, 1982, s. 19–43.
• J. Szmelter, Metody komputerowe w mechanice, Warszawa: PWN, 1980, s. 150–157.
• A. Ralston, Wstęp do analizy numerycznej, Warszawa: PWN, 1971.

W innych językach

• Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 83-01-14764-4. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• Finite-difference calculus (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
• Matematyka dyskretna