Punkt równowagi

Punkt równowagi, stan równowagi – stan układu mechanicznego, w którym pozostaje on w bezruchu (tj. prędkość zmian stanu wynosi 0). Jako przykład podać można wahadło, które ma dwa punkty równowagi, dokładnie poniżej oraz powyżej punktu zaczepienia wahadła.

Stabilny punkt równowagi

Niestabilny punkt równowagi

Punkt $x_{e}$ określający położenie równowagi ciała spełnia warunek:

$f(x_{e},t)=0,$

dla każdego $t$ – gdzie $t$ to czas, a $f$ siła działająca na ciało.

Punkty równowagi dzieli się na stabilne i niestabilne. Ponownie na przykładzie wahadła: punkt równowagi leżący powyżej punktu zaczepienia wahadła nie jest punktem stabilnym, ponieważ nawet niewielkie zaburzenie stanu układu spowoduje ruch wahadłowy i w efekcie przejście do drugiego punktu równowagi.

Stabilność punktu równowagi bada się za pomocą portretu fazowego oraz za pomocą metod Lapunowa, przy czym stabilność tę można określić jako:

zwykłą – gdy układ jedynie krąży w niewielkiej odległości $(\epsilon )$ od punktu równowagi,

lub:

jednostajną – gdy dodatkowo $\epsilon$ jest niezależny od czasu,

asymptotyczną – gdy dodatkowo $x=x_{e}$ po nieskończenie długim czasie,

asympt. wykładniczą – asymptotyczną, dla której $\epsilon =e^{-\alpha t}$ (gdzie $\alpha >0,$ a $t$ to czas).