Metody Lapunowa – służą do określania stabilności punktu równowagi układu nieliniowego.

Wstęp

edytuj

Aleksandr Lapunow przedstawił dwie metody analizy stabilności. Pierwsza z tych metod nazywana jest metodą pośrednią i pozwala na badanie stabilności lokalnej, druga – nazywana jest metodą bezpośrednią i służy do badania stabilności w ograniczonym lub nieograniczonym obszarze przestrzeni stanów układów nieliniowych. W późniejszym czasie stworzono także inne odmiany i udoskonalenia metod Lapunowa.

Druga metoda Lapunowa stanowi najbardziej ogólną metodę określania stabilności systemów nieliniowych i/lub niestacjonarnych. Metoda ta ma zastosowanie do układów dowolnego rzędu (ciągłych i dyskretnych, liniowych i nieliniowych). Bardzo dogodne jest to, że korzystając z drugiej metody Lapunowa można określić stabilność układu bez rozwiązywania równań stanu. Mimo że metoda ta wymaga sporo doświadczenia i pomysłowości, może dać odpowiedź odnośnie do stabilności układów nieliniowych, wówczas gdy inne metody zawiodą.

Druga metoda Lapunowa ma jednak istotną wadę: problem wyznaczania dla danego układu funkcji Lapunowa. Nie istnieje żadne ogólne efektywne podejście do wyznaczania tych funkcji. Do poszukiwania stosownych funkcji Lapunowa często używa się metody prób i błędów, doświadczenia, intuicji. Pomocne mogą tu być niektóre proste techniki matematyczne takie jak metoda Krasowskiego lub metoda zmiennych gradientów.

Metody stacjonarne (układ niezależny od czasu)

edytuj

Pierwsza metoda

edytuj

Dany jest punkt równowagi   układu:

 

Konstruuje się przybliżenie liniowe w otoczeniu punktu   rozwijając funkcję   w szereg Taylora:

 

gdzie:

pochodna cząstkowa   jest oznaczona jako  
  to błąd przybliżenia liniowego.

Uzyskuje się w ten sposób przybliżenie liniowe:

 

na podstawie którego można wnioskować o zachowaniu układu   Jeśli punkt równowagi   jest asymptotycznie stabilny to   jest asymptotycznie stabilny. Jeśli   jest niestabilny to   jest niestabilny. Zwykła stabilność   nie pociąga za sobą stabilności  

Druga metoda

edytuj

Metoda ta wymaga skonstruowania funkcji   takiej, że:

  1.  
  2.   dla każdego  
  3.  

Funkcja taka nazywana będzie funkcją Lapunowa.

Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to jest stabilny. Jeżeli w trzecim warunku jest nierówność ostra (dla  ), to układ jest asymptotycznie stabilny. Warunek 3. zwykle sprawdza się w postaci   odwołującej się bezpośrednio do prawej strony równania różniczkowego.

Metody niestacjonarne (układ zależy od czasu)

edytuj

Pierwsza metoda

edytuj

Dany jest punkt równowagi   układu:

 

Konstruuje się przybliżenie liniowe w otoczeniu punktu  

 

gdzie pochodna cząstkowa   jest oznaczona jako  

Uzyskuje się w ten sposób przybliżenie liniowe:

 

Tak samo jak w przypadku stacjonarnym na podstawie punktu równowagi przybliżenia liniowego wnioskuje się o punkcie równowagi badanego układu.

Druga metoda

edytuj

Metoda ta wymaga skonstruowania funkcji   takiej, że:

posiada ona ciągłe pochodne cząstkowe po   i  
  dla każdego  
  dla każdego  
 

Funkcja taka nazywana będzie funkcją Lapunowa.

Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to jest stabilny. Jeżeli w trzecim warunku jest nierówność ostra (dla  ), to układ jest asymptotycznie stabilny. Dodatkowo, jeśli możemy ograniczyć z dołu i góry funkcję Lapunowa za pomocą dwóch pomocniczych funkcji   to   jest wykładniczo stabilnym punktem równowagi.