Metody Lapunowa
Metody Lapunowa – służą do określania stabilności punktu równowagi układu nieliniowego.
Wstęp
edytujAleksandr Lapunow przedstawił dwie metody analizy stabilności. Pierwsza z tych metod nazywana jest metodą pośrednią i pozwala na badanie stabilności lokalnej, druga – nazywana jest metodą bezpośrednią i służy do badania stabilności w ograniczonym lub nieograniczonym obszarze przestrzeni stanów układów nieliniowych. W późniejszym czasie stworzono także inne odmiany i udoskonalenia metod Lapunowa.
Druga metoda Lapunowa stanowi najbardziej ogólną metodę określania stabilności systemów nieliniowych i/lub niestacjonarnych. Metoda ta ma zastosowanie do układów dowolnego rzędu (ciągłych i dyskretnych, liniowych i nieliniowych). Bardzo dogodne jest to, że korzystając z drugiej metody Lapunowa można określić stabilność układu bez rozwiązywania równań stanu. Mimo że metoda ta wymaga sporo doświadczenia i pomysłowości, może dać odpowiedź odnośnie do stabilności układów nieliniowych, wówczas gdy inne metody zawiodą.
Druga metoda Lapunowa ma jednak istotną wadę: problem wyznaczania dla danego układu funkcji Lapunowa. Nie istnieje żadne ogólne efektywne podejście do wyznaczania tych funkcji. Do poszukiwania stosownych funkcji Lapunowa często używa się metody prób i błędów, doświadczenia, intuicji. Pomocne mogą tu być niektóre proste techniki matematyczne takie jak metoda Krasowskiego lub metoda zmiennych gradientów.
Metody stacjonarne (układ niezależny od czasu)
edytujPierwsza metoda
edytujDany jest punkt równowagi układu:
Konstruuje się przybliżenie liniowe w otoczeniu punktu rozwijając funkcję w szereg Taylora:
gdzie:
- pochodna cząstkowa jest oznaczona jako
- to błąd przybliżenia liniowego.
Uzyskuje się w ten sposób przybliżenie liniowe:
na podstawie którego można wnioskować o zachowaniu układu Jeśli punkt równowagi jest asymptotycznie stabilny to jest asymptotycznie stabilny. Jeśli jest niestabilny to jest niestabilny. Zwykła stabilność nie pociąga za sobą stabilności
Druga metoda
edytujMetoda ta wymaga skonstruowania funkcji takiej, że:
- dla każdego
Funkcja taka nazywana będzie funkcją Lapunowa.
Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to jest stabilny. Jeżeli w trzecim warunku jest nierówność ostra (dla ), to układ jest asymptotycznie stabilny. Warunek 3. zwykle sprawdza się w postaci odwołującej się bezpośrednio do prawej strony równania różniczkowego.
Metody niestacjonarne (układ zależy od czasu)
edytujPierwsza metoda
edytujDany jest punkt równowagi układu:
Konstruuje się przybliżenie liniowe w otoczeniu punktu
gdzie pochodna cząstkowa jest oznaczona jako
Uzyskuje się w ten sposób przybliżenie liniowe:
Tak samo jak w przypadku stacjonarnym na podstawie punktu równowagi przybliżenia liniowego wnioskuje się o punkcie równowagi badanego układu.
Druga metoda
edytujMetoda ta wymaga skonstruowania funkcji takiej, że:
- posiada ona ciągłe pochodne cząstkowe po i
- dla każdego
- dla każdego
Funkcja taka nazywana będzie funkcją Lapunowa.
Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to jest stabilny. Jeżeli w trzecim warunku jest nierówność ostra (dla ), to układ jest asymptotycznie stabilny. Dodatkowo, jeśli możemy ograniczyć z dołu i góry funkcję Lapunowa za pomocą dwóch pomocniczych funkcji to jest wykładniczo stabilnym punktem równowagi.