Przestrzeń Aleksandrowa

Przestrzeń Aleksandrowa – przestrzeń topologiczna, dla której część wspólna dowolnej rodziny jej podzbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Przestrzenie Aleksandrowa zostały zdefiniowane przez Pawła Aleksandrowa w roku 1937 pod nazwą „przestrzenie dyskretne”^[1].

Charakteryzacja

Jeżeli $X$ jest przestrzenią topologiczną, to następujące warunki są równoważne:

$X$ jest przestrzenią Aleksandrowa,
Suma dowolnej rodziny zbiorów domkniętych w $X$ jest zbiorem domkniętym,
Dla każdego punktu $x\in X$ istnieje najmniejsze (w sensie inkluzji) jego otoczenie otwarte,
Filtr otoczeń otwartych dowolnego punktu $x\in X$ jest domknięty na dowolne przekroje,
Operacja wnętrza na $X$ jest rozdzielna względem dowolnych przekrojów,
Operacja domknięcia na $X$ jest rozdzielna względem dowolnych sum mnogościowych,
Istnieje taki praporządek $\leqslant$ na $X,$ że zbiór $U\subseteq X$ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $x\leqslant y$ implikuje $y\in U$ dla każdych $x\in U,y\in X.$
Istnieje taki praporządek $\leqslant$ na $X,$ że zbiór $U\subseteq X$ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $x\geqslant y$ implikuje $y\in U$ dla każdych $x\in U,y\in X.$
Istnieje taki praporządek $\leqslant$ na $X,$ że zbiór $U\subseteq X$ jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy $x\leqslant y$ implikuje $y\in U$ dla każdych $x\in U,y\in X.$

Każda skończona przestrzeń topologiczna jest przestrzenią Aleksandrowa.
Przestrzeń dyskretna jest przestrzenią Aleksandrowa.
Zbiór liczb rzeczywistych jest przestrzenią Aleksandrowa z topologią wprowadzoną przez bazę

{\mathcal {B}}=\{[-r,\,r]\colon \,r\geqslant 0\}.

Przestrzeń T1 jest przestrzenią Aleksandrowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest dyskretna. W szczególności jedynymi przestrzeniami metryzowalnymi Aleksandrowa są przestrzenie dyskretne.
Podprzestrzeń, przestrzeń ilorazowa i skończony produkt przestrzeni Aleksandrowa są przestrzeniami Aleksandrowa.
Obraz przestrzeni Aleksandrowa poprzez przekształcenie ciągłe jest przestrzenią Aleksandrowa.