Pochodna zbioru

Pochodna zbioru – dla danego zbioru $A$ w przestrzeni topologicznej zbiór wszystkich jego punktów skupienia^[1]. Pochodną zbioru $A$ oznacza się $A^{d},$ niekiedy także $A'.$

W przestrzeni T1 pochodna ma następujące własności:

${\overline {A}}=A\cup A^{d}$
${\overline {A^{d}}}=A^{d}$ – pochodna jest zbiorem domkniętym
$(A\cup B)^{d}=A^{d}\cup B^{d}$
$(A^{d})^{d}\subseteq A^{d}$
$\bigcup _{i\in I}A_{i}^{d}\subset (\bigcup _{i\in I}A_{i})^{d}$ – dla dowolnej rodziny $(A_{i})_{i\in I}$ zbiorów przestrzeni $X$ ^[2].

Elementy $A\setminus A^{d}$ to punkty izolowane zbioru $A.$ Punkt $a\in A\setminus A^{d}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje otoczenie otwarte $U$ punktu $a$ takie, że $U\cap A=\{a\}.$

Przykłady

$\mathbb {Q} ^{d}=\mathbb {R} ,$ gdzie $\mathbb {Q}$ oznacza zbiór liczb wymiernych, $\mathbb {R}$ – rzeczywistych.
$(1,2)^{d}=[1,2]$
$\{1,2\}^{d}=\varnothing$

Pochodna Cantora-Bendixsona

Niech $\alpha$ będzie liczbą porządkową, $X$ niech będzie przestrzenią topologiczną, $A$ podzbiorem $X.$ Pochodną Cantora-Bendixsona rzędu $\alpha$ zbioru $A$ definiujemy przez indukcję pozaskończoną w następujący sposób

$A^{1}=A^{d},$
$A^{\alpha }=(\bigcap _{\lambda <\alpha }A^{\lambda })^{d}.$

Dla każdego zbioru $A$ istnieje liczba porządkowa $\alpha$ taka, że $A^{\alpha }=A^{\alpha +1}.$ Najmniejszą liczbę porządkową $\alpha$ o tej własności nazywamy rangą Cantora-Bendixsona zbioru $A,$ a zbiór $A^{\alpha }$ nazywamy jądrem doskonałym zbioru $A.$ Jądro doskonałe jest zbiorem doskonałym. Jeśli $A$ jest zbiorem domkniętym, to jego jądro doskonałe jest w nim zawarte.

Jeśli dla przestrzeni topologicznej $X$ istnieje liczba porządkowa $\alpha$ taka, że $X^{\alpha }=\emptyset ,$ to $X$ jest tzw. przestrzenią rozproszoną.

Jeśli $A\subset \mathbb {R} ,$ to ranga Cantora-Bendixsona $\alpha$ zbioru $A$ jest przeliczalną liczbą porządkową, symbolicznie $\alpha <\omega _{1}.$ Wynika to z faktu, że ciąg $\{A^{\xi }:\xi <\omega _{1}\}$ składa się ze zbiorów domkniętych. Gdyby ten ciąg nie stabilizował się po przeliczalnie wielu krokach, to $\{A^{\xi }:\xi <\omega _{1}\}$ byłby nieprzeliczalnym ciągiem zstępującym zbiorów domkniętych, co przeczyłoby ośrodkowości $\mathbb {R} .$