Operator śladowy

Operator śladowy – ograniczony operator liniowy na przestrzeni Hilberta o skończonym śladzie. Dokładniej, niech H będzie przestrzenią Hilberta oraz niech (e_i)_{i ∈ I} będzie bazą ortonormalną przestrzeni H. Ograniczony operator liniowy T: H → H nazywany jest śladowym, gdy

$\|T\|_{1}={\rm {tr}}\,|T|:=\sum _{i\in I}\langle (T^{*}T)^{1/2}\,e_{i},e_{i}\rangle <\infty ,$

przy czym T* oznacza sprzężenie operatora T. Powyższa liczba nazywana jest normą śladową operatora T i nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej przestrzeni T.

Własności

Niech H będzie przestrzenią Hilberta, (e_i)_{i ∈ I} bazą ortonormalną w H oraz niech S, T: H → H będą ograniczonymi operatorami liniowymi.

• Jeżeli T jest operatorem samosprzężonym (tj. T* = T), to jest on śladowy wtedy i tylko wtedy, gdy T ma on skończony ślad, tj.

${\rm {tr}}\,T:=\sum _{i\in I}\langle Te_{i},e_{i}\rangle <\infty ,$

w szczególności, każdy operator skończonego rzędu jest śladowy.

• Jeżeli T jest operatorem śladowym, to sprzężenie T* też jest operatorem śladowym.
• Jeżeli T i S są operatorami śladowymi, to suma T + S jest również operatorem śladowym.
• Jeżeli T jest operatorem śladowym, to złożenia TS i ST są operatorami śladowymi. Wynika stąd, że zbiór N(H) złożony ze wszystkich operatorów śladowych na H tworzy ideał algebry B(H) wszystkich operatorów ograniczonych na H, który jest zamknięty ze względu na operację sprzężenia. Ideał ten jest domknięty względem normy operatorowej wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń H jest skończenie wymiarowa (w tym wypadku N(H) = B(H)).
• Jeżeli T jest operatorem śladowym, to

$|{\rm {tr}}\,(TS)|\leqslant \|S\|\cdot {\rm {tr}}\,|T|$

oraz

${\rm {tr}}\,(TS)={\rm {tr}}\,(ST).$

• Funkcja $\|\cdot \|_{1}$ jest normą w rodzinie N(H) wszystkich operatorów śladowych na H.

Bibliografia

• Gerald J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory. New York: Academic Press, 1990. ISBN 978-0-12-511360-1.
• Gert K. Pedersen: Analysis Now. New York: Springer-Verlag, 1989, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 978-1-4612-1007-8.