Niestabilność Jeansa

Niestabilność Jeansa – zależność opisująca warunki jakie muszą być spełnione do zapadania grawitacyjnego obłoków materii i formowania się gromad galaktyk, galaktyk, gwiazd, planet itp. Zapadanie obłoku zachodzi, gdy obłok gazu nie jest w stanie zachować równowagi hydrostatycznej, którą dla jednorodnego kulistego obłoku określa wzór:

${\frac {dp}{dr}}=-{\frac {G\rho M_{ob}}{r^{2}}},$

gdzie:

$M_{ob}$ – masa części obłoku od jego środka do rozważanego miejsca,

$p$ – ciśnienie w analizowanym miejscu,

$\rho$ – gęstość,

$G$ – stała grawitacji,

$r$ – promień, odległość od środka obłoku do analizowanego miejsca.

Równowaga jest trwała (stabilna), jeżeli małe zaburzenia są wygaszane w czasie, natomiast niestabilna, kiedy ulegają wzmocnieniu. Ogólnie chmura jest niestabilna, jeśli jest albo bardzo masywna w danej temperaturze, albo bardzo chłodna przy danej masie; w tych okolicznościach ciśnienie gazu nie może pokonać grawitacji i chmura zapadnie się.

Masa Jeansa

Masa Jeansa została nazwana na cześć brytyjskiego fizyka Sir Jamesa Jeansa, który badał zjawisko kolapsu grawitacyjnego obłoków gazu. Jeans pokazał, iż w pewnych warunkach, obłok gazu lub jego część, może stać się niestabilny i zacząć się zapadać, jeżeli gradient ciśnienia nie będzie w stanie zrównoważyć siły grawitacji. Ponadto pokazał, że dla ustalonych parametrów fizycznych obłoku (tj. temperatura, gęstość itp.), istnieje ściśle określona masa, po przekroczeniu której obłok ulega zapadaniu i będzie się kurczył, dopóki wytworzone ciśnienie nie przeciwstawi się kolapsowi. Jeans podał wzór pozwalający określić stabilność obłoku tylko na podstawie jego gęstości i temperatury.

Przybliżoną masę krytyczną można wydedukować z rozważań fizycznych. Niech obłok gazu będzie jednorodną kulą o promieniu $R,$ masie $M$ oraz określonej gęstości i ciśnieniu, wyrażonymi przez prędkość dźwięku $c_{s}.$ Jeżeliby w niewielkim stopniu ścisnąć hipotetyczny obłok i pozostawić działaniu ciśnienia, to fale ciśnienaia (dźwiękowe) odbudowywać stan równowagi (zmieniając gradient ciśnienia). Czas dotarcia zmiany do środka obłoku zależy od prędkości dźwięku w gazie:

$t_{dzw}={\frac {R}{c_{s}}}\approx 0{,}5{\mbox{ Myr}}\cdot {\frac {R}{0.1{\mbox{ pc}}}}\cdot \left({\frac {c_{s}}{0{,}2{\mbox{ km s}}^{-1}}}\right)^{-1}$

Równocześnie siła grawitacji będzie próbowała jeszcze bardziej ścisnąć obłok w skali czasowej spadku swobodnego:

$t_{ff}={\frac {1}{(G\rho )^{\frac {1}{2}}}}\approx 2{\mbox{ Myr}}\cdot \left({\frac {n}{10^{3}{\mbox{ cm}}^{-3}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}$

gdzie:

$G$ – stała grawitacji,

$\rho$ – gęstość,

$n$ – koncentracja cząsteczek gazu.

W zależności od tego, która skala czasowa jest krótsza, obłok będzie:

• stabilny – $t_{dzw}<t_{ff},$ oscylacje ciśnienia przywrócą stan równowagi,
• niestabilny – $t_{dzw}>t_{ff},$ siła grawitacji przeważy i obłok zapadnie się.

Wychodząc z warunku niestabilności $(t_{dzw}>t_{ff}),$ można pokazać, iż istnieje pewna charakterystyczna długość $R_{J}$

$R_{J}={\frac {c_{s}}{(G\rho )^{\frac {1}{2}}}}\approx 0{,}4{\mbox{ pc}}\cdot {\frac {c_{s}}{0{,}2{\mbox{ km s}}^{-1}}}\cdot \left({\frac {n}{10^{3}{\mbox{ cm}}^{-3}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}$

zwana długością Jeansa.

Wszystkie jednorodne, sferycznie symetryczne obłoki materii o promieniu $R>R_{J}$ są niestabilne grawitacyjnie.

Z założenia jednorodności i sferycznej symetrii obłoku można, na podstawie długości Jeansa, wyprowadzić wzór na masę krytyczną:

$M_{J}={\frac {4\pi }{3}}\rho \left({\frac {R_{J}}{2}}\right)^{3}={\frac {\pi }{6}}\cdot {\frac {c_{s}^{3}}{G^{\frac {3}{2}}\rho ^{\frac {1}{2}}}}\approx 2{\mbox{ M}}_{\odot }\cdot \left({\frac {c_{s}}{0{,}2{\mbox{ km s}}^{-1}}}\right)^{3}\left({\frac {n}{10^{3}{\mbox{cm}}^{-3}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}.$

Zobacz też

• granica Chandrasekhara
• granica Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa