Gradient ciśnienia

Gradient ciśnienia – wielkość fizyczna określająca kierunek największego przyrostu ciśnienia gazu lub cieczy oraz przyrost ciśnienia przypadający na jednostkę długości, jest wielkością wektorową, jego jednostką w układzie SI jest paskal na metr (Pa/m). Matematycznie jest gradientem z ciśnienia. Występowanie gradientu ciśnienia wywołuje siłę gradientu ciśnienia.

Wielkość ta ma fundamentalne znaczenie w mechanice płynów i dyscyplinach pochodnych, m.in. w hydrodynamice podziemnej i meteorologii.

Definicja

Gradient ciśnienia jest wektorem, którego składowe w chwili $t$ (w kartezjańskim układzie odniesienia) równe są pochodnym cząstkowym ciśnienia $P(x,y,z,t)$ względem współrzędnych przestrzennych $x,y,z{:}$

$\mathrm {grad} \,P(x,y,z,t)\;{\stackrel {\mathrm {df} }{=}}\;\left({\frac {\partial P(x,y,z,t)}{\partial x}},{\frac {\partial P(x,y,z,t)}{\partial y}},{\frac {\partial P(x,y,z,t)}{\partial z}}\right).$

Gradient ciśnienia oznaczany też bywa za pomocą operatora nabla:

$\mathrm {grad} \,P\equiv \nabla P$

Tak rozumiane pojęcie gradientu ciśnienia jest zgodne z matematycznym pojęciem gradientu pola skalarnego. Należy jednak pamiętać, że wykorzystane w jego definicji pochodne mają sens tylko w takich skalach przestrzennych, w jakich określone jest pojęcie ciśnienia (por. np. dyskusję tego zagadnienia w haśle funkcja rozkładu) i na jakich zmiany ciśnienia są technicznie mierzalne. Stąd też w zastosowaniach praktycznych stosuje się nieco uproszczoną definicję gradientu ciśnienia jako wektora prostopadłego do powierzchni (w zagadnieniach trójwymiarowych) lub linii (w zagadnieniach dwuwymiarowych, np. w meteorologii) stałego ciśnienia, zwanej powierzchnią (linią) izobaryczną, skierowanego do obszaru o wyższym ciśnieniu i mającego wartość

${\frac {\Delta P}{L}},$

gdzie $\Delta P$ jest różnicą ciśnień w dwóch punktach leżących w odległości $L$ od siebie na prostej prostopadłej do powierzchni (linii) izobarycznej. Wartość $L$ zależy od obszaru zastosowań; np. w meteorologii typową wartością tego parametru jest 100 km.

Własności

Gradient ciśnienia jest zawsze prostopadły do powierzchni izobarycznej skalarnego pola ciśnienia $P(x,y,z,t)$ i skierowany w kierunku wzrastania jego wartości.

Jednostki

W układzie SI jednostką gradientu ciśnienia jest paskal na metr (Pa/m).

Zastosowania

Gradient ciśnienia ma fundamentalne znaczenie m.in. w meteorologii, mechanice płynów i hydrodynamice podziemnej, gdyż w przypadku istnienia niezerowego gradientu ciśnienia na płyn (np. powietrze lub wodę) działa dodatkowa siła proporcjonalna do gradientu ciśnienia wziętego ze znakiem minus. W układach, które są izotropowe i w których prędkości przepływu są małe (tzn. liczba Reynoldsa jest dostatecznie mała, by przepływ miał charakter pełzający), np. w hydrodynamice podziemnej, płyn porusza się dokładnie w kierunku przeciwnym do wektora gradientu ciśnienia. W hydrodynamice podziemnej dotyczy to zarówno prędkości filtracji, jak i prędkość adwekcji (z wyjątkiem przepływów w ośrodkach anizotropowych). Podczas przepływów w ośrodkach porowatych, zgodnie z prawem Darcy’ego, prędkość filtracji jest bowiem wprost proporcjonalna do wziętego ze znakiem minus gradientu ciśnienia płynu.

Gradient ciśnienia ma szczególne znaczenie w fizyce atmosfery. W atmosferach planetarnych gradient ciśnienia skierowany jest niemal pionowo w dół. Jego wartość w troposferze Ziemi wynosi ok. 9 Pa/m, czyli 90 hPa/km, jest więc łatwo mierzalna nawet domowym barometrem.

Ponieważ atmosferę ziemską można w pierwszym przybliżeniu traktować jak gaz doskonały w stanie równowagi hydrostatycznej, ciśnienie równe jest ciężarowi powietrza w słupie powietrza (o przekroju jednostkowym) ponad danym punktem. Dlatego pionowy gradient ciśnienia można związać z gęstością i temperaturą powietrza za pomocą następującego wzoru:

${\frac {dP}{dz}}=-\rho g=-{\frac {mPg}{RT}},$

gdzie:

$P$ – ciśnienie,

$z$ – wysokość,

$\rho$ – gęstość powietrza,

$g$ – przyspieszenie ziemskie,

$R$ – stałą gazową,

$T$ – temperaturę bezwzględną,

$m$ – masę molową gazu.

We wzorze tym wszystkie wielkości poza $R$ są funkcjami $z.$

Skoro gradient ciśnienia jest proporcjonalny do gęstości powietrza na danej wysokości, w wyższych partiach atmosfery jest on szybko malejącą funkcją wysokości. Pionowa składowa gradientu ciśnienia atmosferycznego wytwarza siłę skierowaną do góry, która jest niemal doskonale równoważona przez skierowany w dół ciężar mas powietrza. Brak pełnego zrównoważenia składowej pionowej obserwuje się m.in. podczas burz.

Gradient ciśnienia atmosferycznego zwykle ma niewielką składową poziomą odpowiedzialną za powstawanie wiatrów. Dlatego w meteorologii powszechnie wykorzystuje się dwuwymiarowy rzut wektora gradientu ciśnienia na powierzchnię Ziemi zwany gradientem barycznym. W pobliżu powierzchni Ziemi składowa pozioma gradientu ciśnienia zwykle skierowana jest w kierunku mas powietrza o wysokim ciśnieniu (antycyklonów), jednak jej dokładny kierunek i wartość zależą od warunków pogodowych. W naszych szerokościach geograficznych typowe wartości poziomej składowej gradientu ciśnienia poza obszarami frontów atmosferycznych wynoszą ok. 10⁻² Pa/m (czyli ok. 10 Pa/km).