stwierdza, że średnia arytmetyczna listy nieujemnych liczb rzeczywistych jest większa lub równa średniej geometrycznej tej samej listy.
Niektóre z zamieszczonych tu informacji wymagają weryfikacji.
Uwagi: Zweryfikować poprawność tytułu (zob. wpis w dyskusji). Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.
Nierówność Cauchy’ego między średnimi jest szczególnym przypadkiem nierówności między średnimi potęgowymi, więc dowód nierówności między średnimi potęgowymi jest jednocześnie dowodem nierówności Cauchy’ego, ale można przeprowadzić również osobne dowody, mniej lub bardziej zbliżone do dowodu nierówności między średnimi potęgowymi, dla poszczególnych nierówności zawartych wśród nierówności Cauchy’ego.
Weźmy dowolny ciąg liczb rzeczywistych dodatnich: Możemy założyć bez straty ogólności, że jest on uporządkowany nierosnąco, ponieważ zbiór liczb rzeczywistych jest uporządkowany, ciąg ten jest wobec tego monotoniczny, a w szczególności jest jednomonotoniczny sam ze sobą. Następnie mnożąc kolejne elementy tego ciągu ‘po przekątnej’ i operację tę powtarzając razy, jak na przykładzie dla (mnożymy wyrazy tego samego koloru):
po dodaniu otrzymujemy:
zgodnie z twierdzeniem o ciągach jednomonotonicznych:
co po podzieleniu obustronnie przez daje żądaną nierówność:
Przypadek jest trywialny, gdyż średnia arytmetyczna i geometryczna są zawsze równe sobie.
Przypadki dwóch składników
Na początku udowodnijmy nierówność w przypadku dwóch składników tj.
Ponieważ każda liczba podniesiona do kwadratu jest nieujemna, zatem:
po spierwiastkowaniu:
co kończy dowód dla .
Ponadto z podanej na początku nierówności wynika fakt, że średnie są równe wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby są takie same.
Przypadek
Następnie można udowodnić za pomocą indukcji, że jeżeli twierdzenie jest prawdziwe dla , to jest też prawdziwe dla :
Wynika stąd, że dla każdego naturalnego :
Pozostałe przypadki
Ponieważ ciąg nie jest ograniczony z góry, oznacza to, że każda liczba jest mniejsza od jakiejś liczby naturalnej będącej potęgą liczby 2.
Dzięki temu aby wykazać zachodzenie nierówności dla dowolnej ilości liczb, wystarczy wykazać indukcyjnie, że jeżeli jest ono prawdziwe dla to jest ono także prawdziwe dla :
Niech . Wtedy
dalej:
Stąd wiemy, że nierówność między średnimi ma miejsce dla dowolnej ilości liczb, co kończy dowód.
nierosnącego ciągu liczb rzeczywistych dodatnich
Zgodnie z twierdzeniem o ciągach jednomonotonicznych jest to największa suma, jaką możemy uzyskać poprzez mnożenie wyrazów podanego ciągu.
Po pomnożeniu jej przez otrzymujemy:
co zgodnie z nierównością jest nie mniejsze niż suma dowolnych sum powstałych w wyniku podobnego mnożenia.
Łatwo zauważyć, że iloczyn: jest sumą dokładnie takich sum, zatem: