Definicja macierzy Jacobiego
edytuj
Założenia:
U
{\displaystyle U}
podzbiór otwarty przestrzeni euklidesowej
R
n
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
f
=
[
f
1
,
…
,
f
m
]
{\displaystyle \mathbf {f} =[f_{1},\dots ,f_{m}]}
funkcja wektorowa ze zbioru
U
{\displaystyle U}
R
m
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m},}
m
{\displaystyle m}
f
i
{\displaystyle f_{i}}
U
{\displaystyle U}
zbiór liczb rzeczywistych ,
f
i
:
U
→
R
,
i
=
1
,
…
,
m
{\displaystyle f_{i}\colon U\to R,\,\,i=1,\dots ,m}
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
U
.
{\displaystyle \mathrm {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in U.}
Jeżeli funkcja
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
pochodne cząstkowe w punkcie
x
∈
U
,
{\displaystyle \mathrm {x} \in U,}
(1) macierzą Jacobiego
J
f
{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }}
[
J
f
]
i
j
,
i
=
1
,
…
,
m
,
j
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle [\mathbf {J} _{\mathrm {f} }]_{ij},\,i=1,\dots ,m,\,\,j=1,\dots ,n}
[
∂
f
i
∂
x
j
]
i
,
j
,
{\displaystyle \left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{i,j},}
[
∂
f
1
∂
x
1
…
∂
f
1
∂
x
n
⋮
⋱
⋮
∂
f
m
∂
x
1
…
∂
f
m
∂
x
n
]
,
{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\ldots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\ldots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}},}
tj.
Pierwszy wiersz tej macierzy stanowią pochodne pierwszej funkcji po poszczególnych zmiennych
x
1
,
…
,
x
n
,
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},}
(2) Macierz Jacobiego można przedstawić w postaci wektora kolumnowego , którego współrzędnymi są gradienty
∇
f
i
{\displaystyle \nabla f_{i}}
f
i
{\displaystyle f_{i}}
f
,
{\displaystyle \mathrm {f} ,}
[
∇
f
1
⋮
∇
f
m
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\nabla f_{1}\\\vdots \\\nabla f_{m}\end{bmatrix}}.}
(3) Macierz Jacobiego można również przedstawić jako iloczyn tensorowy operatora nabla
∇
=
[
∂
∂
x
1
,
…
,
∂
∂
x
n
]
{\displaystyle \nabla ={\Big [}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\Big ]}}
f
{\displaystyle \mathrm {f} }
J
f
=
∇
⊗
f
T
,
{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }=\nabla \otimes f^{T},}
gdzie
f
T
=
[
f
1
,
…
,
f
m
]
T
{\displaystyle \mathbf {f} ^{T}=[f_{1},\dots ,f_{m}]^{T}}
f
{\displaystyle \mathrm {f} }
T
{\displaystyle T}
transpozycję wektora).
Uwaga:
Wartością macierzy Jacobiego
J
f
{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }}
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
x
{\displaystyle \mathrm {x} }
nazywa się macierz
J
f
(
x
)
,
{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }(\mathrm {x} ),}
x
,
{\displaystyle \mathrm {x} ,}
[
∂
f
i
∂
x
j
(
x
)
]
i
,
j
.
{\displaystyle \left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathrm {x} )\right]_{i,j}.}
Definicja:
Jakobianem nazywa się wyznacznik (kwadratowej) macierzy Jacobiego.Jakobian oznacza się symbolami[2]
det
J
f
,
{\displaystyle \det \mathbf {J} _{\mathrm {f} },}
|
J
f
|
,
{\displaystyle |\mathbf {J} _{\mathrm {f} }|,}
∂
(
f
1
,
…
,
f
n
)
∂
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
o
z
n
∂
f
∂
x
.
{\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},\dots ,f_{n})}{\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}}{\overset {\mathrm {ozn} }{=}}{\frac {\partial \mathrm {f} }{\partial \mathrm {x} }}.}
edytuj
Dla funkcji
f
=
[
f
1
,
f
2
]
:
R
2
→
R
2
,
{\displaystyle \mathbf {f} =[f_{1},f_{2}]\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},}
f
1
(
x
,
y
)
=
x
2
+
x
y
3
,
{\displaystyle f_{1}(x,y)=x^{2}+xy^{3},}
f
2
(
x
,
y
)
=
x
y
+
1
{\displaystyle f_{2}(x,y)=xy+1}
jakobian wynosi
det
J
f
=
|
∂
f
1
∂
x
∂
f
1
∂
y
∂
f
2
∂
x
∂
f
2
∂
y
|
=
|
∂
(
x
2
+
x
y
3
)
∂
x
∂
(
x
2
+
x
y
3
)
∂
y
∂
(
x
y
+
1
)
∂
x
∂
(
x
y
+
1
)
∂
y
|
=
|
2
x
+
y
3
3
x
y
2
y
x
|
=
2
x
2
+
x
y
3
−
3
x
y
3
=
2
x
2
−
2
x
y
3
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\det \mathbf {J} _{\mathrm {f} }&={\begin{vmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial (x^{2}+xy^{3})}{\partial x}}&{\frac {\partial (x^{2}+xy^{3})}{\partial y}}\\{\frac {\partial (xy+1)}{\partial x}}&{\frac {\partial (xy+1)}{\partial y}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2x+y^{3}&3xy^{2}\\y&x\end{vmatrix}}\\&=2x^{2}+xy^{3}-3xy^{3}=2x^{2}-2xy^{3}\end{aligned}}.}
edytuj
Dla funkcji
f
:
R
3
→
R
4
{\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{4}}
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
(
x
1
,
5
x
3
,
4
x
2
2
−
2
x
3
,
x
3
sin
x
1
)
,
{\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1},\,5x_{3},\,4x_{2}^{2}-2x_{3},\,x_{3}\sin x_{1}),}
y
1
=
x
1
,
{\displaystyle y_{1}=x_{1},}
y
2
=
5
x
3
,
{\displaystyle y_{2}=5x_{3},}
y
3
=
4
x
2
2
−
2
x
3
,
{\displaystyle y_{3}=4x_{2}^{2}-2x_{3},}
y
4
=
x
3
sin
x
1
.
{\displaystyle y_{4}=x_{3}\sin x_{1}.}
a) macierz Jacobiego ma postać
J
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
[
∂
y
1
∂
x
1
∂
y
1
∂
x
2
∂
y
1
∂
x
3
∂
y
2
∂
x
1
∂
y
2
∂
x
2
∂
y
2
∂
x
3
∂
y
3
∂
x
1
∂
y
3
∂
x
2
∂
y
3
∂
x
3
∂
y
4
∂
x
1
∂
y
4
∂
x
2
∂
y
4
∂
x
3
]
=
[
1
0
0
0
0
5
0
8
x
2
−
2
x
3
cos
x
1
0
sin
x
1
]
.
{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.}
Przykład ten pokazuje, że macierz Jacobiego nie musi być kwadratowa.
b) Jakobian nie istnieje, ponieważ macierz nie jest kwadratowa.
edytuj
Dla funkcji o składowych
y
1
=
5
x
2
,
{\displaystyle y_{1}=5x_{2},}
y
2
=
4
x
1
2
−
2
sin
(
x
2
x
3
)
,
{\displaystyle y_{2}=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3}),}
y
3
=
x
2
x
3
{\displaystyle y_{3}=x_{2}x_{3}}
jakobian ma wartość
|
0
5
0
8
x
1
−
2
x
3
cos
(
x
2
x
3
)
−
2
x
2
cos
(
x
2
x
3
)
0
x
3
x
2
|
=
−
8
x
1
|
5
0
x
3
x
2
|
=
−
40
x
1
x
2
.
{\displaystyle {\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.}
Gdy znak jakobianu jest ujemny, to funkcja
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
R
−
{
0
,
0
}
.
{\displaystyle R-\{0,0\}.}
edytuj
edytuj
Element powierzchni w starych współrzędnych = element powierzchni w nowych współrzędnych * moduł jakobianu przejścia od nowych do starych współrzędnych. Transformacja ze współrzędnych biegunowych
r
,
ϕ
{\displaystyle r,\phi }
x
,
y
{\displaystyle x,y}
f
:
R
+
×
[
0
,
2
π
)
→
R
2
{\displaystyle \mathrm {f} \colon R^{+}\times [0,2\pi )\to R^{2}}
f
1
≡
x
=
r
cos
φ
,
{\displaystyle f_{1}\equiv x=r\cos \varphi ,}
f
2
≡
y
=
r
sin
φ
.
{\displaystyle f_{2}\equiv y=r\sin \varphi .}
a) Macierz Jacobiego ma postać
J
f
(
r
,
φ
)
=
[
∂
x
∂
r
∂
x
∂
φ
∂
y
∂
r
∂
y
∂
φ
]
=
[
cos
φ
−
r
sin
φ
sin
φ
r
cos
φ
]
.
{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[0.5em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}.}
b) Jakobian
|
J
f
|
=
r
.
{\displaystyle |\mathbf {J} _{\mathbf {f} }|=r.}
c) Różniczkowy element powierzchni
Jakobianu można użyć do zamiany zmiennych całkowania z układu kartezjańskiego na biegunowy, np.
∬
f
(
A
)
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∬
A
f
(
r
cos
φ
,
r
sin
φ
)
r
d
r
d
φ
.
{\displaystyle \iint _{\mathrm {f} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}
edytuj
edytuj
Element objętości w starych współrzędnych = element objętości w nowych współrzędnych * moduł jakobianu przejścia od nowych do starych współrzędnych. Przejście ze współrzędnych sferycznych
(
r
,
θ
,
φ
)
{\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
f
:
R
+
×
[
0
,
π
)
×
[
0
,
2
π
)
→
R
3
{\displaystyle \mathbf {f} \colon R^{+}\times [0,\pi )\times [0,2\pi )\to R^{3}}
x
=
r
sin
θ
cos
φ
,
{\displaystyle x=r\sin \theta \cos \varphi ,}
y
=
r
sin
θ
sin
φ
,
{\displaystyle y=r\sin \theta \sin \varphi ,}
z
=
r
cos
θ
.
{\displaystyle z=r\cos \theta .}
a) Macierz Jacobiego ma postać
J
f
(
r
,
θ
,
φ
)
=
[
∂
x
∂
r
∂
x
∂
θ
∂
x
∂
φ
∂
y
∂
r
∂
y
∂
θ
∂
y
∂
φ
∂
z
∂
r
∂
z
∂
θ
∂
z
∂
φ
]
=
[
sin
θ
cos
φ
r
cos
θ
cos
φ
−
r
sin
θ
sin
φ
sin
θ
sin
φ
r
cos
θ
sin
φ
r
sin
θ
cos
φ
cos
θ
−
r
sin
θ
0
]
.
{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{bmatrix}}.}
b) Wyznacznik tej macierzy wynosi
|
J
f
|
=
r
2
sin
θ
.
{\displaystyle |\mathbf {J} _{\mathbf {f} }|=r^{2}\sin \theta .}
Widać, że jakobian zmienia się w zależności od współrzędnych
r
,
θ
.
{\displaystyle r,\theta .}
c) Różniczkowy element objętości
W układzie kartezjańskim element różniczkowy objętości ma postać
d
V
=
d
x
d
y
d
z
.
{\displaystyle dV=dx\,dy\,dz.}
Przechodząc do układu współrzędnych sferycznych różniczkowy element objętości nie zmieni się, jeżeli pomnoży się go przez jakobian, tj.
d
V
=
|
J
f
|
d
r
d
φ
d
θ
=
r
2
sin
θ
d
r
d
φ
d
θ
.
{\displaystyle dV=|\mathbf {J} _{\mathbf {f} }|dr\,d\varphi \,d\theta =r^{2}\sin \theta dr\,d\varphi \,d\theta .}
Np. wykonując całkowanie funkcji
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)}
zmienne
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
r
,
φ
,
θ
,
{\displaystyle r,\varphi ,\theta ,}
element objętości
d
V
=
d
x
d
y
d
z
{\displaystyle dV=dx\,dy\,dz}
d
V
=
r
2
sin
θ
d
r
d
φ
d
θ
.
{\displaystyle dV=r^{2}\sin \theta dr\,d\varphi \,d\theta .}
edytuj
(1) Jeśli funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie, to jej pochodna dana jest za pomocą macierzy Jacobiego. Dokładniej, jeżeli funkcja
f
{\displaystyle \mathrm {f} }
p
∈
U
,
{\displaystyle \mathrm {p} \in U,}
macierzą przekształcenia liniowego , którym jest jej pochodna Frécheta
D
f
(
p
)
,
{\displaystyle \operatorname {D} \mathrm {f} (\mathrm {p} ),}
J
f
(
p
)
{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }(\mathrm {p} )}
f
{\displaystyle \mathrm {f} }
p
.
{\displaystyle \mathrm {p} .}
(2) Macierz Jacobiego jest kwadratowa, gdy pochodna jest endomorfizmem ; jeśli jest odwracalna (jej wyznacznik jest odwracalny), to pochodna jest izomorfizmem . Więcej: niezdegenerowanie jakobianu gwarantuje, że funkcja jest różniczkowalna w sensie Frécheta w sposób ciągły (tzn. pochodna jest ciągła ) – mówi się wtedy, że jest ona klasy
C
1
.
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}.}
(3) Funkcja
f
{\displaystyle \mathrm {f} }
p
,
{\displaystyle \mathrm {p} ,}
J
f
(
p
)
{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }(\mathrm {p} )}
pochodnych cząstkowych funkcji
f
{\displaystyle \mathrm {f} }
p
.
{\displaystyle \mathrm {p} .}
f
{\displaystyle \mathrm {f} }
w dowolnym kierunku , tzn. w sensie Gâteaux, czyli dla dowolnego
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
∂
f
∂
v
(
p
)
.
{\displaystyle {\tfrac {\partial \mathrm {f} }{\partial \mathbf {v} }}(\mathrm {p} ).}
(4) Gradient , jak i macierz Jacobiego można traktować jak „pierwsze pochodne ” funkcji:
macierz Jacobiego jest pierwszą pochodną funkcji wektorowej wielu zmiennych,
gradient jest pochodną funkcji skalarnej wielu zmiennych (gradient można uważać za szczególny przypadek macierzy Jacobiego). (5) Macierz Jacobiego gradientu nazywana jest macierzą Hessego (hesjan) – jest to w pewnym sensie „druga pochodna ” funkcji skalarnej wielu zmiennych.
edytuj
![{\displaystyle \mathbf {f} =[f_{1},\dots ,f_{m}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6ac139a6d6717c10d794a5f8f87bec383ad79c)
![{\displaystyle [\mathbf {J} _{\mathrm {f} }]_{ij},\,i=1,\dots ,m,\,\,j=1,\dots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43104c1826eceb06e4f7be92e80f0d4a609ccf6e)
![{\displaystyle \left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{i,j},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ad232ad37048e98310972728e034427bc4d83a3)
![{\displaystyle \nabla ={\Big [}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f3c6c0b154eec8b365fbbda32929e70b906277)
![{\displaystyle \mathbf {f} ^{T}=[f_{1},\dots ,f_{m}]^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc5308083c51fc191dd954081b580a38f8258e7)
![{\displaystyle \left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathrm {x} )\right]_{i,j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3082780bccc66352f68f8380db96015a58bfeb)
![{\displaystyle \mathbf {f} =[f_{1},f_{2}]\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c027168f684a695588988198ca7be3f13ebf78e)
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f41ae424c7bceebfbb02fa49024f5264f0ff618c)
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[0.5em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f431e5f3e3fb3d4f2ed4b21118d512924a61b0)
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147a423f1896efaaeba5db35b256bbdfd226b1f3)
Jeff Miller, Jacobian, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (D) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2022-02-18].
