Krzywa łańcuchowa

Krzywa łańcuchowa, linia łańcuchowa – krzywa płaska, której kształt przyjmuje doskonale nierozciągliwa i nieskończenie wiotka lina o niezerowej, jednostajnie rozłożonej masie (tj. o jednorodnej gęstości), swobodnie zwisająca pomiędzy dwiema różnymi podporami w jednorodnym polu grawitacyjnym.

Krzywe łańcuchowe dla różnych wartości parametru $a$

Krzywa łańcuchowa jest przeskalowanym wykresem funkcji cosinusa hiperbolicznego:

$y=a\ \cosh \left({\frac {x}{a}}\right).$

Wyprowadzenie równania

Siły działające na łuk ${\widehat {AP}}$

Linia (krzywa) łańcuchowa jest rozważana w układzie współrzędnych, tak jak na rysunku obok, symetrycznie względem osi $OY.$ Łuk będzie traktowany jak ciało materialne. Zakłada się, że układ jest w stanie równowagi. Łuk ${\widehat {AP}}$ podlega działaniom trzech sił ${\vec {T}},$ ${\vec {t}}$ i ${\vec {F}},$ gdzie:

${\vec {T}}$ – siła naprężenia łuku w punkcie $A$ o kierunku stycznej do krzywej w tym punkcie,

${\vec {t}}$ – siła naprężenia łuku w punkcie $P$ o kierunku stycznej do krzywej w tym punkcie,

${\vec {F}}$ – ciężar łuku ${\widehat {AP}}$ krzywej.

Korzystając z założenia o stanie równowagi, dostaje się:

${\vec {t}}+{\vec {T}}+{\vec {F}}=0.$

Wektory ${\vec {T}},{\vec {F}}$ są ortogonalne, więc oznaczając przez $\alpha$ kąt między wektorami ${\vec {t}},{\vec {F}}$ dostaje się

$\operatorname {tg} \alpha ={\tfrac {|{\vec {F}}|}{|{\vec {T}}|}}.$

Ciężar łuku wynosi

$|{\vec {F}}|=q\,l,$

gdzie:

$l$ – długość łuku ${\widehat {AP}},$

$q$ – ciężar jednostki długości.

Stąd

$\operatorname {tg} \alpha ={\frac {q}{|{\vec {T}}|}}l={\frac {dy}{dx}}.$

Ostatecznie dostaje się równanie różniczkowe:

$l=a{\frac {dy}{dx}},\;\;{}$ gdzie ${}\;\;a={\frac {|{\vec {T}}|}{q}}.$

Różniczkując je względem $x$ otrzymujemy

${\frac {dl}{dx}}=a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$

i wykorzystując zależność $dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}$ dostaje się:

${\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}=a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.$

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego z warunkami początkowymi $y(0)=a,\;{\dot {y}}(0)=0.$

Podstawiając:

${\frac {dy}{dx}}=p(x),\quad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {dp}{dx}},$

otrzymuje się równanie różniczkowe rzędu pierwszego:

${\sqrt {1+p^{2}}}=a{\frac {dp}{dx}}\quad \to \quad {\frac {dp}{\sqrt {1+p^{2}}}}={\frac {dx}{a}}.$

Teraz rozdziela się zmienne i całkuje:

$\int {\frac {dp}{\sqrt {1+p^{2}}}}=\int \left({\frac {1}{a}}\right)\,dx,$

$\operatorname {arsinh} (p)={\frac {x}{a}}+C,$

$p=\sinh \left({\frac {x}{a}}+C\right).$

Następnie wraca się do podstawienia:

$p(x)={\frac {dy}{dx}}=\sinh \left({\frac {x}{a}}+C\right),$

$y=a\ \cosh \left({\frac {x}{a}}+C\right)+D.$

Uwzględniając warunki początkowe otrzymuje się ostatecznie

$y=a\ \cosh \left({\frac {x}{a}}\right),\quad a={\frac {|{\vec {T}}|}{q}}.$

Zastosowania

Liny wiszące

Krzywa łańcuchowa znajduje zastosowanie przy badaniu wiszących lin (np. przewodów elektrycznych, lin metalowych).

Wiszącą linę charakteryzują pewne stałe: strzałka $h$ (zwana też strzałką zwisu bądź zwisem), rozpiętość $2b,$ minimalne zawieszenie $a$ i maksymalne zawieszenie $d.$ W zastosowaniach przydatne są pewne zależności między tymi stałymi.

• Wiadomo, że długość linii łańcuchowej w przedziale $[0,b]$ jest równa:

$l={\sqrt {d^{2}-a^{2}}},$

skąd otrzymuje się zależność:

$a={\frac {l^{2}-h^{2}}{2h}}.$

• Zgodnie z równaniem linii łańcuchowej:

$h+a=a\ \cosh \left({\frac {b}{a}}\right),$

czyli:

$h=a\ \cosh \left({\frac {b}{a}}\right)-a.$

Po rozwinięciu prawej strony w szereg Maclaurina otrzymuje się:

$h=a\left(1+{\frac {1}{2!}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {1}{4!}}{\frac {b^{4}}{a^{4}}}+{\frac {1}{6!}}{\frac {b^{6}}{a^{6}}}+\ldots \right)-a,$

$h={\frac {1}{2!}}{\frac {b^{2}}{a}}+{\frac {1}{4!}}{\frac {b^{4}}{a^{3}}}+{\frac {1}{6!}}{\frac {b^{6}}{a^{5}}}+\dots ,$

co daje przybliżoną zależność:

$a\approx \left({\frac {b^{2}}{2h}}\right).$

• W niektórych obliczeniach technicznych linię łańcuchową zastępuje się parabolą. Wynika to z rozwinięcia funkcji $y=a\ \cosh \left({\frac {x}{a}}\right)$ w szereg Maclaurina:

$y=a\left(1+{\frac {1}{2!}}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {1}{4!}}{\frac {x^{4}}{a^{4}}}+{\frac {1}{6!}}{\frac {x^{6}}{a^{6}}}+\ldots \right).$

Dla dostatecznie dużej wartości $a$ (dla małej wartości $h$) daje dobre przybliżenie linii łańcuchowej parabolą:

$y\approx a+{\frac {x^{2}}{2a}}.$

Łańcuch wiszącego mostu, podtrzymujący pionowymi linami (wantami) nawierzchnię mostu, ma na ogół kształt paraboli.

Stropy

Linię łańcuchową wykorzystuje się przy projektowaniu stropów. Strop zwany arkadą ma kształt opisany równaniem:

$y=c\ \cosh \left({\frac {x}{a}}\right).$

Historia

Pierwsze z rozważań o krzywej, która przyjmuje kształt lekkiego, zwisającego łańcucha zamocowanego na końcach, pojawiło się w „Dialogach” Galileusza z 1632 roku. Stwierdził on, iż jest to parabola. Nie podał wywodów, jedynie wyraził powszechnie przyjęte przekonanie, które prawdopodobnie wytworzyło się wiek wcześniej, gdy Leonardo da Vinci szkicował w swych pracach zawieszone łańcuchy. Wygląda na to, że wszyscy, łącznie z Kartezjuszem, milcząco przyjmowali to za prawdę. Stwierdzenie takie pojawiło się w znanym i cenionym podręczniku Simona Stevina z 1634 r. i poręczał je w zamieszczonych w książce komentarzach Albert Girard, który twierdził też, że 17 lat wcześniej zdołał tego dowieść, ale nie miał w owym momencie czasu na zamieszczenie dowodu w książce Stevina.

W 1646 roku Marin Mersenne (matematyk zajmujący się między innymi teorią liczb) dostał list od zamożnego rządowego funkcjonariusza z Niderlandów, znanego też ze swych poematów i kompozycji, Constantina Huygensa. W liście ojciec chwali się swoim zdolnym, 17-letnim synem Christiaanem. Zainteresowany Mersenne napisał do młodzika, a ten już w pierwszym liście oznajmił, że wbrew stwierdzeniu Galileusza, wiszący łańcuch nie tworzy paraboli, lecz podobną do niej krzywą. Mersenne poprosił o pokazanie dowodu i zapytał jak przy pomocy dodatkowych obciążeń (czyli zewnętrznych sił) zmienić kształt krzywej, by przemieniła się ona w ową parabolę. Wkrótce otrzymał odpowiedź z dowodem. Chociaż ta wymiana listów wprowadziła Christiana Huygensa do świata europejskiej nauki, jego dowód, geometryczny i skomplikowany, pozostał na uboczu rozważań przez następne 20 lat.

Inne podejścia do problemu, łatwiejsze do zrozumienia, zyskały uznanie, ale ciągle nie było wyjaśnienia jak opisać kształt owej krzywej. Dopiero w 1691 Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernoulli i 61-letni Christian Huygens opublikowali rozwiązanie w Acta eruditorium. Huygens zaproponował nazwę, catenaria (łac. catena – łańcuch), czyli linia łańcuchowa, którą zaproponował w 1690 r. w liście do Leibniza.

Zobacz też

• geometria analityczna
• rachunek wariacyjny
• traktrysa

Bibliografia

• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

Linki zewnętrzne

• portalwiedzy.onet.pl krzywa łańcuchowa
• Wyliczanie krzywej łańcuchowej dla układu mas punktowych połączonych sprężynami lub sztywnymi drążkami. fatcat.ftj.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2009-10-09)].
• Catenary plot
• the gateway arch is not a parabola
• Hanging With Galileo
• Catenary plot and history