Klasyczny rachunek zdań
Klasyczny rachunek zdań – najpopularniejszy system formalny logiki matematycznej, w którym formuły reprezentujące zdania logiczne mogą być tworzone z formuł atomowych za pomocą wymienionego niżej zbioru aksjomatów.
Definicja
edytujKlasyczny rachunek zdań, KRZ, w wersji inwariantnej – rachunek zdaniowy w języku klasycznego rachunku zdań z regułą odrywania jako jedyną pierwotną regułą wnioskowania oraz aksjomatami następującej postaci:
Ax prawo poprzedzania Ax sylogizm Fregego Ax prawo opuszczania koniunkcji, 1. Ax prawo opuszczania koniunkcji, 2. Ax prawo wprowadzania koniunkcji Ax prawo wprowadzania alternatywy, 1. Ax prawo wprowadzania alternatywy, 2. Ax prawo łączenia implikacji Ax prawo opuszczania równoważności, 1. Ax prawo opuszczania równoważności, 2. Ax prawo wprowadzania równoważności Ax prawo przepełnienia Ax prawo redukcji do absurdu Ax silne prawo podwójnego przeczenia
Związek z intuicjonistycznym rachunkiem zdań
edytujW tej formie aksjomatyka ta jest rozszerzeniem aksjomatyki intuicjonistycznego rachunku zdań, którą stanowią formuły o formułę
Przykłady dowodu w systemie formalnym klasycznego rachunku zdań znaleźć można w artykule dot. intuicjonistycznego rachunku zdań. Ponieważ KRZ jest rozszerzeniem INT tylko o jeden aksjomat, zamieszczone tam dowody są także poprawnymi dowodami w klasycznym rachunku zdań.
Gdyby chcieć uprawiać KRZ w oderwaniu od INT, można zamiast aksjomatów przyjąć
Ax prawo kontrapozycji Ax prawo podwójnego przeczenia
Niektórzy autorzy wręcz ograniczają język KRZ np. do i traktując pozostałe spójniki jako wtórne:
Df Df Df
Wówczas np. wykazanie prawa przemienności alternatywy sprowadza się do dowodliwości formuły a dowodliwość praw de Morgana, to dowodliwość formuł
oraz
Twierdzenia o dedukcji
edytujW KRZ podobnie jak w INT prawdziwe są klasyczne Twierdzenie o dedukcji:
oraz uogólnione twierdzenie o dedukcji:
gdzie oznacza zbiór formuł dowodliwych w KRZ ze zbioru założeń
Wynika to z faktu, że w dowodzie obu tych twierdzeń korzysta się z aksjomatów o numerach nie przekraczających liczby
W odróżnieniu jednak od INT, w przypadku KRZ trzeci punkt ostatniego twierdzenia może także przyjąć postać:
- 4.
Jako przykład użycia tej wersji twierdzenia o dedukcji, wykażemy dowodliwość w KRZ tzw. silnego prawa kontrapozycji:
oraz prawa wyłączonego środka:
Prawo kontrapozycji (silne)
edytuj1. 2. jest sprzeczny 3. 4. 5.
Prawo wyłączonego środka
edytuj1. 2. 3. – sprzeczny 4. 5. 6. 7. – sprzeczny 8. 9. – sprzeczny 10.
Związek z algebrą Boole’a
edytujFormuła języka klasycznego rachunku zdań jest tezą KRZ jeśli jest ona prawdziwa dowolnej algebrze Boole’a.
W szczególności jeśli formuła nie jest tezą KRZ, to można ją obalić w dwuelementowej algebrze Boole’a czyli nie jest ona tautologią klasyczną.
Zobacz też
edytujLinki zewnętrzne
edytuj- Stewart Shapiro , Teresa Kouri Kissel , Classical Logic, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, CSLI, Stanford University, 11 marca 2018, ISSN 1095-5054 [dostęp 2018-08-11] (ang.).