Rachunek zdaniowy

Rachunek zdaniowy – system formalny w zbiorze formuł pewnego języka zdaniowego.

Rachunek zdaniowy $\langle {\mathcal {L}},R,A\rangle$ jest inwariantny, jeśli

1. $\mathbf {Sb} _{\mathcal {L}}(A)=A$
2. $\langle h\,{\grave {}}\,{\grave {}}\,\Pi ,h(\delta )\rangle \in r,$ dla $\langle \Pi ,\delta \rangle \in r\in R\;\;,\qquad h\,\qquad {}$ – automorfizm algebry języka.

Reguły spełniające warunek z punktu 2. powyżej, nazywane są regułami inwariantnymi.

Uwaga: Reguła podstawiania $\mathbf {r} _{\star }({\mathcal {L}})$ w nietrywialnym języku ${\mathcal {L}}$ nie jest inwariantna!

Przyjrzyjmy się dlaczego.

Niech ${\mathfrak {f}}$ będzie dowolnym spójnikiem rozważanego języka i niech $p\neq q\in \mathbf {P} .$ Wówczas $\langle p,q\rangle \in \mathbf {r} _{\star }({\mathcal {L}}),$ chociaż $\langle {\mathfrak {f}}\overbrace {p\ldots p} ^{\varsigma ({\mathfrak {f}})},q\rangle \not \in \mathbf {r} _{\star }({\mathcal {L}}).$

Operatory konsekwencji rachunków inwariantnych są strukturalne.

Każdy strukturalny operator konsekwencji wyznaczony jest przez inwariantny rachunek zdaniowy.

Matryca Lindenbauma rachunku inwariantnego jest dla niego adekwatna.