Aksjomat ekstensjonalności

Aksjomat ekstensjonalności, aksjomat jednoznaczności, aksjomat równości – jeden z aksjomatów Zermela-Fraenkla w aksjomatycznej teorii mnogości, sformułowany przez Ernsta Zermela w 1908 roku. Aksjomat ten postuluje, że dwa zbiory złożone z tych samych elementów są identyczne.

Formalnie aksjomat ten to następujące zdanie języka pierwszego rzędu ${\mathcal {L}}(\{\in \})$ (gdzie $\in$ jest binarnym symbolem relacyjnym):

${\Big (}\forall x{\Big )}{\Big (}\forall y{\Big )}{\Big (}(\forall z)(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow (x=y){\Big )}.$

Interpretacja

Aksjomat ekstensjonalności postuluje, że jeśli dwa zbiory mają te same elementy, to są równe. Ponieważ dwa równe zbiory mają te same elementy, to możemy sformułować ten aksjomat tak:

dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy.

Zatem każdy zbiór jest wyznaczony jednoznacznie przez swoje elementy. W szczególności jeśli $\varphi (x)$ jest formułą języka teorii mnogości ${\mathcal {L}}(\{\in \})$ i wiemy, że istnieje zbiór złożony ze wszystkich obiektów $a,$ dla których jest spełnione $\varphi (a),$ to zbiór ten jest wyznaczony jednoznacznie. Pisząc „$\{x:\varphi (x)\}$” na oznaczenie tego zbioru, odwołujemy się także do aksjomatu ekstensjonalności.

Czasami aksjomat ekstensjonalności podaje się jako stwierdzenie, że relacja należenia jest ekstensjonalna. Przypomnijmy, że relacja dwuczłonowa $R$ na zbiorze X jest ekstensjonalna, gdy następujący warunek jest spełniony:

dla wszystkich $x,y\in X,$ jeśli $(\forall z\in X)(z\;R\;x\Leftrightarrow z\;R\;y)$ to $x=y.$

(Warto wspomnieć, że twierdzenie Mostowskiego o kolapsie stwierdza, że każda relacja dobrze ufundowana i ekstensjonalna jest izomorficzna z relacją należenia ograniczoną do pewnego zbioru przechodniego.)

Inne sformułowania aksjomatu

• Logikę pierwszego rzędu można rozwijać bez użycia symbolu równości jako jednego z symboli logicznych. Przy tym podejściu nie możemy w sformułowaniu aksjomatu napisać $x=y$ i wtedy aksjomat ekstensjonalności formułuje się w następujący, bardziej skomplikowany sposób:

${\Big (}\forall x{\Big )}{\Big (}\forall y{\Big )}{\Big (}(\forall z)(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow (\forall w)(x\in w\Leftrightarrow y\in w){\Big )}.$

• W teorii mnogości z urelementami aksjomat ekstensjonalności formułuje się tylko w odniesieniu do zbiorów.
• W teorii klas (zarówno Kelleya-Morse’a, jak i NBG) również formułuje się odpowiedni aksjomat extensjonalności. John L. Kelley podaje ten aksjomat jako pierwszy na jego liście. Postulat ten może być wyrażony za pomocą tej samej fomuły co podana przez nas wcześniej, ale znaczenie teraz jest, że klasy o tych samych elementach są równe. W systemie von Neumanna-Bernaysa-Gödla formułuje się dwa postulaty: ekstensjonalność dla klas i ekstensjonalność dla zbiorów.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., AxiomofExtensionality, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].