Funkcja skokowa Heaviside’a

Funkcja skokowa Heaviside’a, skok jednostkowy – funkcja nieciągła, która przyjmuje wartość $0$ dla ujemnych argumentów i wartość $1$ w pozostałych przypadkach:

Funkcja Heaviside’a; przy założeniu $H(0)=0{,}5$

$H(x)={\begin{cases}0\ \mathrm {dla} \ x<0\\1\ \mathrm {dla} \ x\geqslant 0\end{cases}}.$

Często stosowanym symbolem, zwłaszcza w środowisku inżynierskim elektryków i elektroników, dla funkcji skokowej Heaviside’a jest $\mathbf {1} {\big (}t{\big )}$ (np. , symbolu tego używał sam Oliver Heaviside). Argument $t$ oznacza tu zazwyczaj czas. Przy zastosowaniach z dziedziny mechaniki, na przykład analizie belek, argumentem tej funkcji może być położenie obciążenia.

Funkcja ta jest używana w przetwarzaniu sygnałów do reprezentowania sygnału włączającego się w danej chwili czasu, w elektrotechnice i elektronice do analizy stanów nieustalonych w obwodach RLC, w automatyce jako sygnał wymuszenia na wejściu układu, a także w mechanice do reprezentowania obciążeń belek rozłożonych na pewnej części ich długości.

Skok jednostkowy jest wynikiem całkowania delty Diraca. Wartość funkcji Heaviside’a dla argumentu 0 nie jest szczególnie istotna, ponieważ funkcja jest zazwyczaj używana wewnątrz całki. Niektóre źródła podają $H(0)=0,$ a inne $H(0)=1.$ Używa się też wartości $H(0)=0{,}5,$ aby uzyskać symetrię funkcji. Definicja $H(x)$ wygląda wtedy następująco:

$\int \limits _{-\infty }^{x}{\delta (t)dt}=H(x)=={\begin{cases}0\ \quad \quad {\text{dla }}\,t<0\\{\frac {1}{2}}\quad \quad {\text{dla }}\,t=0\\1\quad \quad \,{\text{dla }}\,t>0\end{cases}}$

Funkcja skoku jednostkowego spełnia ważną rolę w rachunku operatorowym, m.in. przekształcenie Laplace’a zawiera ją w sposób niejawny.

Zobacz też

• charakterystyka skokowa
• funkcja signum
• transmitancja operatorowa