Aproksymacja liniowa

Aproksymacja liniowa funkcji – przybliżenie jej za pomocą funkcji liniowej.

Styczna do wykresu funkcji przechodząca przez punkt $(a,f(a))$

Interpolacja liniowa

Szczególnym przypadkiem aproksymacji liniowej jest interpolacja liniowa, w której wybierane są dwa różne argumenty funkcji, zwane węzłami, po czym konstruowana jest funkcja liniowa mająca w węzłach te same wartości co funkcja przybliżana.

Aproksymacja za pomocą wzoru Taylora

Dla danej funkcji różniczkowalnej $f$ jednej zmiennej, na mocy wzoru Taylora dla $n=1$ można napisać:

$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}(x),$

gdzie $R_{2}$ jest tzw. resztą Peana, spełniającą warunek:

$\lim _{x\to a}{\frac {R_{2}(x)}{x-a}}=0.$

Wyrażenie aproksymujące powstaje przez odrzucenie reszty:

$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$

i przybliżenie to jest tym lepsze, im $x$ jest bliższe $a.$ Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie prostej stycznej do wykresu funkcji $f(x),$ w punkcie o współrzędnych $(a,f(a)).$

Analogiczne wyrażenie otrzymamy dla funkcji o wartościach (lub argumentach) wektorowych, przy czym pochodną zastępuje macierz Jacobiego funkcji. Na przykład jeżeli $f(x,y)$ jest funkcją rzeczywistą dwóch zmiennych, otrzymujemy wzór:

$f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).$

Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni, będącej wykresem funkcji $z=f(x,y)$ w punkcie o współrzędnych $(a,b,f(a,b)).$

Uogólnienie powyższego na przypadek przestrzeni Banacha wygląda następująco:

$f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a),$

gdzie $Df(a)$ jest pochodną Frecheta funkcji $f$ dla $x=a.$

Przykład

Aproksymację liniową można wykorzystać do obliczenia przybliżonej wartości ${\sqrt[{3}]{25}}.$

1. Rozważana jest funkcja $f(x)=x^{1/3}.$ Problem polega na obliczeniu przybliżonej wartości funkcji $f(25).$
2. Jest

   $f'(x)=1/3x^{-2/3}.$

3. Korzystając z aproksymacji liniowej:

   $f(25)\approx f(27)+f'(27)(25-27)=3-2/27=2{\frac {25}{27}}=2,(925).$

4. Otrzymany wynik 2,926, niewiele różni się od wartości dokładnej 2,924…