Metoda gradientu sprzężonego

Metoda gradientu sprzężonego (ang. conjugate gradient method, w skrócie CG) jest algorytmem numerycznym służącym do rozwiązywania niektórych układów równań liniowych. Pozwala rozwiązać te, których macierz jest symetryczna i dodatnio określona. Metoda gradientu sprzężonego jest metodą iteracyjną, więc może być zastosowana do układów o rzadkich macierzach, które mogą być zbyt duże dla algorytmów bezpośrednich takich jak np. rozkład Choleskiego. Takie układy pojawiają się często w trakcie numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych.

Porównanie zbieżności metody gradientu prostego (na zielono) i sprzężonego gradientu (na czerwono) dla minimalizacji formy kwadratowej powiązanej z zadanym układem równań liniowych. Metoda sprzężonego gradientu zbiega w co najwyżej n krokach, gdzie n jest rozmiarem macierzy zadanego układu (tutaj n=2).

Metoda gradientu sprzężonego może również zostać użyta do rozwiązania problemu optymalizacji bez ograniczeń.

Opis metody

Rozpatrzmy rozwiązania poniższego układu równań:

Ax = b,

gdzie macierz A n na n jest symetryczna, rzeczywista i dodatnio określona.

Oznaczmy rozwiązanie tego układu przez x_*.

Bezpośrednia metoda gradientu sprzężonego

Mówimy, że dwa niezerowe wektory u i v są sprzężone (względem A), jeśli

$\mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {v} =\mathbf {0} .$

Ponieważ A jest symetryczna i dodatnio określona, lewa strona definiuje iloczyn skalarny:

$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle _{\mathbf {A} }:=\langle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {A} \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {A} \mathbf {v} \rangle =\mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {v} .$

Więc, dwa wektory są sprzężone jeśli są ortogonalne względem tego iloczynu skalarnego. Sprzężoność jest relacją symetryczną.

Przypuśćmy, że {p_k} jest ciągiem n wzajemnie sprzężonych kierunków. Wtedy p_k tworzą bazę Rⁿ, wektor x_* będący rozwiązaniem Ax = b możemy przedstawić w postaci:

$\mathbf {x} _{*}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\mathbf {p} _{i}.$

Współczynniki otrzymujemy w następujący sposób:

$\mathbf {A} \mathbf {x} _{*}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\mathbf {A} \mathbf {p} _{i}=\mathbf {b} ,$

$\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {x} _{*}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {p} _{i}=\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ,$

$\alpha _{k}={\frac {\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }{\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {p} _{k}}}={\frac {\langle \mathbf {p} _{k},\mathbf {b} \rangle }{\quad \langle \mathbf {p} _{k},\mathbf {p} _{k}\rangle _{\mathbf {A} }}}={\frac {\langle \mathbf {p} _{k},\mathbf {b} \rangle }{\quad \|\mathbf {p} _{k}\|_{\mathbf {A} }^{2}}}.$

Co daje nam następującą metodę rozwiązywania równania Ax = b. Najpierw znajdujemy ciąg n sprzężonych kierunków, następnie obliczamy współczynniki $\alpha _{k}.$

Metoda gradientu sprzężonego jako metoda iteracyjna

Jeśli właściwie dobierzemy sprzężone wektory p_k, możemy nie potrzebować ich wszystkich do dobrej aproksymacji rozwiązania x_*. Możemy więc spojrzeć na CG jak na metodę iteracyjną. Co więcej, pozwoli nam to rozwiązać układy równań, gdzie n jest tak duże, że bezpośrednia metoda zabrałaby zbyt dużo czasu.

Oznaczmy punkt startowy przez x₀. Bez starty ogólności możemy założyć, że x₀ = 0 (w przeciwnym przypadku, rozważymy układ Az = b − Ax₀). Zauważmy, że rozwiązanie x_* minimalizuje formę kwadratową:

$f(\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ,\quad \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}.$

Co sugeruje, by jako pierwszy wektor bazowy p₁ wybrać gradient f w x = x₀, który wynosi Ax₀−b, a ponieważ wybraliśmy x₀ = 0, otrzymujemy −b. Pozostałe wektory w bazie będą sprzężone do gradientu (stąd nazwa metoda gradientu sprzężonego).

Niech r_k oznacza rezyduum w k-tym kroku:

$\mathbf {r} _{k}=\mathbf {b} -\mathbf {Ax} _{k}.$

Zauważmy, że r_k jest przeciwny do gradientu f w x = x_k, więc metoda gradientu prostego nakazywałaby ruch w kierunku r_k. Tutaj jednak założyliśmy wzajemną sprzężoność kierunków p_k, więc wybieramy kierunek najbliższy do r_k pod warunkiem sprzężoności. Co wyraża się wzorem:

$\mathbf {p} _{k+1}=\mathbf {r} _{k}-{\frac {\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {r} _{k}}{\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {p} _{k}}}\mathbf {p} _{k}.$

Wynikowy algorytm

Upraszczając, otrzymujemy poniższy algorytm rozwiązujący Ax = b, gdzie macierz A jest rzeczywista, symetryczna i dodatnio określona. x₀ jest punktem startowym.

$r_{0}:=b-Ax_{0}$

$p_{0}:=r_{0}$

$k:=0$

repeat

$\alpha _{k}:={\frac {r_{k}^{\top }r_{k}}{p_{k}^{\top }Ap_{k}}}$

$x_{k+1}:=x_{k}+\alpha _{k}p_{k}$

$r_{k+1}:=r_{k}-\alpha _{k}Ap_{k}$

if r_k+1 jest "wystarczająco mały" then exit loop end if

$\beta _{k}:={\frac {r_{k+1}^{\top }r_{k+1}}{r_{k}^{\top }r_{k}}}$

$p_{k+1}:=r_{k+1}+\beta _{k}p_{k}$

$k:=k+1$

end repeat

Wynikiem jest $x_{k+1}$

Przykład metody gradientu sprzężonego w Octave/MATLAB

function [x] = conjgrad(A,b,x0)
r = b - A*x0;
w = -r;
z = A*w;
a = (r'*w)/(w'*z);
x = x0 + a*w;

for i = 1:size(A,1);
    r = r - a*z;
    if( norm(r) < 1e-10 )
        break;
    end
    B = (r'*z)/(w'*z);
    w = -r + B*w;
    z = A*w;
    a = (r'*w)/(w'*z);
    x = x + a*w;
end

end

Zobacz też

• metoda gradientu prostego
• metoda najszybszego spadku
• metoda Newtona
• metoda złotego podziału
• optymalizacja

Bibliografia

• Metoda gradientu sprzężonego została zaproponowana w:
  • Magnus R.M.R. Hestenes Magnus R.M.R., EduardE. Stiefel EduardE., Methods of Conjugate Gradients for Solving Linear Systems [PDF], „Journal of Research of the National Bureau of Standards”, 6, 49, grudzień 1952 [dostęp 2009-01-20] [zarchiwizowane z adresu 2010-05-05] .??? Brak numerów stron w czasopiśmie
• Opisy meteody można znaleźć w:
  • Kendell A. Atkinson (1988), An introduction to numerical analysis (2nd ed.), Section 8.9, John Wiley and Sons. ISBN 0-471-50023-2.
  • Mordecai Avriel (2003). Nonlinear Programming: Analysis and Methods. Dover Publishing. ISBN 0-486-43227-0.
  • Gene H. Golub and Charles F. Van Loan, Matrix computations (3rd ed.), Chapter 10, Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5414-8.

Linki zewnętrzne

• Conjugate Gradient Method by Nadir Soualem.
• Preconditioned conjugate gradient method by Nadir Soualem.
• An Introduction to the Conjugate Gradient Method Without the Agonizing Pain by Jonathan Richard Shewchuk.
• Iterative methods for sparse linear systems by Yousef Saad
• LSQR: Sparse Equations and Least Squares by Christopher Paige and Michael Saunders.