Metoda złotego podziału

Metoda złotego podziału – numeryczna metoda optymalizacji jednowymiarowej funkcji celu.

Algorytm ten może być używany przy minimalizacji kierunkowej razem z innymi metodami optymalizacji funkcji wielowymiarowych, takich jak metody gradientowe (np. metoda gradientu prostego, metoda Newtona) lub bezgradientowe (np. metoda Gaussa-Seidela, metoda Powella).

Innymi metodami optymalizacji jednowymiarowej są metoda dychotomii, metoda punktu środkowego, metoda Newtona.

Zadanie optymalizacji jednowymiarowej

Niech dana będzie funkcja celu $f{:}$

\mathbb {R} \supset D\ni x\mapsto f(x)\in \mathbb {R}

oraz przedział $[a,b]\subset D$ w którym $f$ jest unimodalna (jest ciągła i posiada co najwyżej jedno ekstremum lokalne). Zadaniem optymalizacji jednowymiarowej funkcji $f$ jest znalezienie jej minimum w przedziale $[a,b].$

Warto podkreślić fakt, iż algorytmy minimalizacji jednowymiarowej działają poprawnie jedynie dla przedziałów w których funkcja jest unimodalna. Jeżeli zadana funkcja nie posiada tej własności, należy znaleźć jej przedziały unimodalności i zastosować opisywaną metodę do każdego z nich.

Algorytm

Idea algorytmu

Metoda złotego podziału. Badane są wartości funkcji w punktach

x_{L}

i

x_{R}.

Zgodnie z rysunkiem

f(x_{L})>f(x_{R})

z czego wynika, iż minimum musi znajdować się w przedziale

[x_{L},b]

Funkcja ciągła $f$ w przedziale $[a,b]$ posiada dokładnie jedno minimum x*. Minimum to można znaleźć poprzez kolejne podziały zadanego przedziału. W tym celu należy obliczyć wartości funkcji w dwóch punktach $x_{L}$ i $x_{R}$ takich, że $a<x_{L}<x_{R}<b,$ a następnie zbadać ich wielkości:

Jeżeli $f(x_{L})>f(x_{R}),$ to szukane minimum znajduje się w przedziale $[x_{L},b].$
Jeżeli $f(x_{L})<f(x_{R}),$ to szukane minimum znajduje się w przedziale $[a,x_{R}].$

W ten sposób można dowolnie zawężać przedział w którym znajduje się minimum, aż do momentu gdy spełniony zostanie warunek:

(b-a)\leqslant \epsilon

dla ustalonej dokładności obliczeń $\epsilon .$

Wielkość otrzymanego w wyniku powyższego postępowania przedziału po $n$ krokach wynosi: $(b^{(n)}-a^{(n)})k^{n}$ gdzie $k$ jest stałym współczynnikiem o który zmniejszana jest wielkość przedziałów w kolejnych krokach algorytmu.

Złoty podział

W metodzie złotego podziału wartość współczynnika $k$ jest dobrana w taki sposób, aby przy kolejnych iteracjach wykorzystywać obliczoną w poprzednim kroku wartość funkcji jednej z dwóch próbek ( $f(x_{L})$ lub $f(x_{R})$ ). Aby osiągnąć powyższą własność, wartość współczynnika $k$ musi być równa wartości złotego podziału:

k={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\approx 0,61803398

skąd wzięła się nazwa metody.

Strategię obliczania minimum funkcji można zapisać:

$\left\{{\begin{array}{l}x_{L}^{(0)}:=b^{(0)}-(b^{(0)}-a^{(0)})k\\x_{R}^{(0)}:=a^{(0)}+(b^{(0)}-a^{(0)})k\end{array}}\right.$
Jeśli:
- $f(x_{L}^{(i)})>f(x_{R}^{(i)})\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}a^{(i+1)}:=x_{L}^{(i)}\\b^{(i+1)}:=b^{(i)}\\x_{L}^{(i+1)}:=x_{R}^{(i)}\\x_{R}^{(i+1)}:=a^{(i+1)}+(b^{(i+1)}-a^{(i+1)})k\end{array}}\right.$
- $f(x_{L}^{(i)})<f(x_{R}^{(i)})\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}a^{(i+1)}:=a^{(i)}\\b^{(i+1)}:=x_{R}^{(i)}\\x_{L}^{(i+1)}:=b^{(i+1)}-(b^{(i+1)}-a^{(i+1)})k\\x_{R}^{(i+1)}:=x_{L}^{(i)}\end{array}}\right.$
Jeśli $(b^{(i+1)}-a^{(i+1)})\leqslant \epsilon$ to STOP, w przeciwnym wypadku powtórz punkt 2.

Pseudokod

Algorytm można również zapisać przy pomocy poniższego kodu w języku C:

float GoldenRatioMethod( float a, float b )
{
        // współczynnik złotego podziału
        float k = ( sqrt( 5 ) - 1 ) / 2;

        // lewa i prawa próbka
        float xL = b - k * ( b - a );
        float xR = a + k * ( b - a );

        // pętla póki nie zostanie spełniony warunek stopu
        while ( ( b - a ) > EPSILON )
        {
                // porównaj wartości funkcji celu lewej i prawej próbki
                if ( f( xL ) < f( xR ) )
                {
                        // wybierz przedział [a, xR]
                        b = xR;
                        xR = xL;
                        xL = b - k * ( b - a );
                }
                else
                {
                        // wybierz przedział [xL, b]
                        a = xL;
                        xL = xR;
                        xR = a + k * ( b - a );
                }
        }

        // zwróć wartość środkową przedziału
        return ( a + b ) / 2;
}

Zbieżność metody

Kolejne obliczane przedziały w metodzie złotego podziału są wielkości:

(b^{(i+1)}-a^{(i+1)})=k(b^{(i)}-a^{(i)})

z czego wynika iż zbieżność metody jest liniowa (rząd zbieżności wynosi $1,$ zaś współczynnik zbieżności $k\approx 0,61803398<1$ ). Ilość iteracji $N$ potrzebna do zawężenia przedziału początkowego $[a,b]$ do zadanej dokładności $\epsilon$ wynosi:

N=\left\lceil \log _{k}{\frac {\epsilon }{b-a}}\right\rceil

Zobacz też

Bibliografia

Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J.: Metody Numeryczne, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2006.
Stachurski A., Wierzbicki A.: Podstawy optymalizacji, Oficyna Wydawnicza PW, 1999.