Zmodyfikowana dyskretna transformacja kosinusowa

Zmodyfikowana dyskretna transformacja cosinusowa (MDCT, ang. modified discrete cosine transform) – blokowa transformacja danych oparta na przekształceniu kosinusowym typu DCT-IV, należąca do rodziny transformacji zakładkowych. Ta ostatnia cecha oznacza, że kolejne bloki próbek sygnału poddawane przekształceniu pobierane są nadmiarowo, z zakładką (część próbek jest wspólna), co pozwala wyeliminować tzw. efekt blokowy występujący przy zastosowaniu tej transformacji w kompresji sygnału.

Definicja

Przekształcenie MDCT odwzorowuje każdy blok rzeczywistych próbek $x_{n}$ o długości $N$ według wzoru:

$X_{k}=\sum _{n=0}^{2N-1}w_{n}x_{n}\cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}+{\frac {N}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad {\textrm {dla}}\quad k=0,1,\dots ,N-1.$

Oryginalny sygnał można odtworzyć z sekwencji współczynników używając przekształcenia odwrotnego:

$y_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}w_{n}X_{k}\cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}+{\frac {N}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad {\textrm {dla}}\quad n=0,1,\dots ,2N-1.$

Sekwencje $y_{n}$ uzyskane w kolejnych blokach należy następnie zsumować z zakładką 50% aby uzyskać zrekonstruowany sygnał $x_{n}.$

Należy zauważyć, że liczba współczynników transformaty w pojedynczym bloku jest dwukrotnie mniejsza od liczby próbek sygnału w tym bloku, co pozornie oznaczałoby nieodwracalność przekształcenia. W istocie, odrzucenie połowy współczynników powoduje zjawisko aliasingu w dziedzinie czasu: w zrekonstruowanym pojedynczym bloku $y_{n}$ próbki z połowy poprzedniego i połowy następnego bloku są „zawinięte” do środka bloku. Właściwości symetrii przekształcenia DCT-IV powodują, że te składowe aliasowe w sąsiednich blokach mają przeciwny znak i w końcowym procesie składania sygnału ulegają kompensacji. Jest to tak zwana zasada TDAC (ang. Time-Domain Aliasing Cancellation).

W powyższych wzorach $w_{n}$ oznacza funkcję okna, które pełni rolę ograniczającą skoki wartości sygnału na granicach bloku poprzez łagodne zmniejszenie ich amplitudy do zera. Aby TDAC działało poprawnie, funkcja okna powinna spełniać warunek:

$w_{n}^{2}+w_{n+N}^{2}=1.$

W praktyce stosowane jest kilka popularnych funkcji okien, na przykład

$w_{n}=\sin \left[{\frac {\pi }{2N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right]$ – okno wykorzystywane w technice kompresji MP3,

$w_{n}=\sin \left({\frac {\pi }{2}}\sin ^{2}\left[{\frac {\pi }{2N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right]\right)$ – okno wykorzystywane w technice Vorbis.

Interpretacja

Wartości rzeczywiste $X_{k}$ (tak zwane współczynniki MDCT) reprezentują składowe sygnału w dziedzinie przypominającej dziedzinę fourierowską, zatem mogą być (z pewnymi zastrzeżeniami) interpretowane jako widmo częstotliwościowe. W rzeczywistości istnieje ścisła zależność między współczynnikami MDCT oraz DFT.

Zastosowanie

Podstawowym zastosowaniem MDCT jest kodowanie transformatowe dźwięku, gdzie współczynniki transformaty są kwantowane z wykorzystaniem modelu psychoakustycznego. Dzięki właściwości TDAC zrekonstruowany sygnał nie posiada zniekształceń blokowych, które byłyby zupełnie nieakceptowalne dla dźwięku.

Zobacz też

• cyfrowe przetwarzanie sygnałów
• DCT
• dyskretna transformata Fouriera
• falki
• szereg Fouriera
• szybka transformacja Fouriera

Bibliografia

• John P. Princen, Alan B. Bradley, Analysis/synthesis filter bank design based on time domain aliasing cancellation, „IEEE Trans. Acoust. Speech Sig. Proc.” ASSP-34 (5), s. 1153–1161 (1986).
• J.P. Princen, A. W. Johnson, A.B. Bradley, Subband/transform coding using filter bank designs based on time domain aliasing cancellation, „IEEE Proc. Intl. Conf. on Acoustics, Speech, and Signal Processing (ICASSP)” 12, s. 2161–2164 (1987).
• A.W. Johnson, A.B. Bradley, Adaptive transform coding incorporating time domain aliasing cancellation, „Speech Comm.” 6, s. 299–308 (1987).
• Marina Bosi, Richard E. Goldberg, Introduction to digital audio coding and standards, Springer, 2003.
• Henrique S. Malvar, Signal Processing with Lapped Transforms, Artech House: Norwood MA, 1992.