Wzór Blacka-Scholesa

Wzór Blacka-Scholesa to podstawowy wzór wyceny optymalnej ceny opcji na kupno akcji lub towarów na giełdzie.

Wzór Blacka-Scholesa dla europejskiej opcji kupna

Niech:

$C$ – cena opcji kupna,

$S$ – aktualna cena instrumentu bazowego,

$X$ – cena rozliczenia opcji,

$T$ – termin wygaśnięcia opcji (liczony w latach),

$r$ – wysokość stopy procentowej wolnej od ryzyka dla terminu wygaśnięcia opcji (stawka wyrażona w skali roku),

$\Phi (\dots )$ – dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego,

$\sigma$ – współczynnik zmienności ceny instrumentu bazowego (ang. volatility).

$C=S\Phi \left({\frac {\ln {\frac {S}{X}}+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)-Xe^{-rT}\Phi \left({\frac {\ln {\frac {S}{X}}+\left(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right).$

Wzór Blacka-Scholesa dla europejskiej opcji sprzedaży

$P$ – cena opcji sprzedaży

$P=Xe^{-rT}\Phi \left({\frac {-\ln {\frac {S}{X}}-\left(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)-S\Phi \left({\frac {-\ln {\frac {S}{X}}-\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right).$

Uzasadnienie wzoru

Uzasadnienie na przykładzie europejskiej opcji kupna – analogicznie dla innych rodzajów opcji.

W chwili, w której możemy wykorzystać opcję, objęty nią walor będzie miał pewną ceną rynkową. Jeśli cena zawarta w opcji jest korzystniejsza od rynkowej, zrealizujemy opcję i nasz zysk z tej operacji będzie równy różnicy między ceną oferowaną a ceną rynkową. Jeśli cena oferowana jest mniej korzystna, opcji oczywiście nie zrealizujemy.

Cena rynkowa w chwili realizacji $S_{T}$ jest pewną zmienną losową. Wartość oczekiwana zysku z realizacji opcji wynosi więc:

$E\left(S_{T}-X\right)^{+}=\int \limits _{X}^{+\infty }(S_{T}-X)P(S_{T})dS_{T}.$

Ponieważ pieniądze te dostać możemy dopiero po upływie ustalonego czasu, musimy przyjąć odpowiednią poprawkę. Ponieważ 1 jednostka monetarna zainwestowana w inwestycje pozbawione ryzyka po upływie czasu $T$ jest warta $e^{rT},$ wartość opcji jest $e^{rT}$ razy mniejsza od spodziewanego zysku:

$C=e^{-rT}\int \limits _{X}^{+\infty }(S_{T}-X)P(S_{T})dS_{T}=e^{-rT}\left(\int \limits _{X}^{+\infty }S_{T}P(S_{T})dS_{T}-\int \limits _{X}^{+\infty }XP(S_{T})dS_{T}\right),$

gdzie $S_{T}$ – cena akcji w chwili $T$ – jest zmienną losową.

Logarytm relatywnej zmiany ceny w jednostce czasu

$Y_{k}=\ln {\frac {S_{k+1}}{S_{k}}}$

jest zmienną losową o rozkładzie, z dobrym przybliżeniem, normalnym, o odchyleniu standardowym równym $\sigma$ i średniej równej średniej stopie zwrotu z inwestycji na rynku – $N(r,\sigma ^{2}).$

Tak więc

$S_{T}=S_{0}\times e^{\ln {\frac {S_{1}}{S_{0}}}}\times e^{\ln {\frac {S_{2}}{S_{1}}}}\times \ldots \times e^{\ln {\frac {S_{T}}{S_{T-1}}}}=S_{0}e^{Y_{0}+\ldots +Y_{T-1}}=S_{0}e^{Y},$

gdzie $Y$ jest sumą $T$ niezależnych zmiennych losowych o identycznym rozkładzie w przybliżeniu normalnym, tak więc ma rozkład $N(Tr,T\sigma ^{2})$

${\begin{aligned}C&=e^{-rT}\left(\int \limits _{S_{T}>X}S_{T}P(S_{T})dS_{T}-X\int \limits _{S_{T}>X}P(S_{T})dS_{T}\right)\\&=e^{-rT}\left(\int \limits _{S_{0}e^{Y}>X}S_{0}e^{Y}P(Y)dY-X\int \limits _{S_{0}e^{Y}>X}P(Y)dY\right)\\&=e^{-rT}\left(\int \limits _{Y>\ln {\frac {X}{S_{0}}}}S_{0}e^{Y}P(Y)dY-X\int \limits _{Y>\ln {\frac {X}{S_{0}}}}P(Y)dY\right)\\&=e^{-rT}\left(S_{0}\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }e^{Y}P(Y)dY-X\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }P(Y)dY\right).\end{aligned}}$

Druga całka jest łatwa do policzenia – to dystrybuanta rozkładu normalnego o średniej $rT$ i wariancji $\sigma ^{2}T.$ Musimy jednak przekształcić pierwszą do wygodniejszej postaci.

$Y$ możemy standaryzować, odejmując średnią $rT$ i dzieląc przez odchylenie standardowe $\sigma {\sqrt {T}},$ w wyniku czego otrzymujemy zmienną o standardowym rozkładzie normalnym.

${\begin{aligned}C&=S_{0}e^{-rT}\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }e^{Y}P_{N(rT,\sigma ^{2}T)}(Y)dY-Xe^{-rT}\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }P_{N(rT,\sigma ^{2}T)}(Y)dY\\&=S_{0}e^{-rT}\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }e^{Y}P_{N(0,1)}\left({\frac {Y-rT}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)dY-Xe^{-rT}\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }P_{N(0,1)}\left({\frac {Y-rT}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)dY.\end{aligned}}$

Przekształcając wyrażenie pod pierwszą całką:

$e^{Y}P_{N(0,1)}\left({\frac {Y-rT}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)=e^{Y}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{{\frac {1}{2}}{\frac {(Y-rT)^{2}}{\sigma ^{2}T}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{{\frac {1}{2}}{\frac {(Y-rT)^{2}+2\sigma ^{2}TY}{\sigma ^{2}T}}}.$

Zobacz też

• instrumenty pochodne
• model Blacka-Scholesa