Wielkie twierdzenie Fermata

Wielkie twierdzenie Fermata – twierdzenie teorii liczb, które brzmi:

Arithmetica Diofantosa, wydanie z roku 1670 uwzględniające wielkie twierdzenie Fermata

dla liczby naturalnej $n>2$ nie istnieją takie liczby naturalne dodatnie $x,y,z,$ które spełniałyby równanie $x^{n}+y^{n}=z^{n}.$

Równanie to jest znane jako równanie Fermata. Pierre de Fermat zanotował to twierdzenie na marginesie łacińskiego tłumaczenia książki Arithmetica Diofantosa i opatrzył następującą uwagą:

znalazłem zaiste zadziwiający dowód tego twierdzenia. Niestety, margines jest zbyt mały, by go pomieścić,

lub w innej wersji:

Jest niemożliwe rozłożyć sześcian na dwa sześciany, czwartą potęgę na dwie czwarte potęgi i ogólnie potęgę wyższą niż druga na dwie takie potęgi; znalazłem naprawdę zadziwiający dowód tego, jednak margines jest za mały, by go pomieścić.

Historia

Andrew Wiles

Twierdzenie zostało sformułowane przez Fermata w roku 1637. Opublikowano je dopiero w roku 1670, po odnalezieniu go w pozostałych po śmierci pismach Fermata, i z miejsca stało się wyzwaniem dla kolejnych pokoleń matematyków – wiadomo bowiem było, że wiele twierdzeń formułowanych przez Fermata okazało się prawdziwymi, a ich dowody zostały znalezione przez innych. To jedno przez ponad 300 lat opierało się próbom dowodu w ogólności, znane były dowody szczególnych przypadków. Dlatego też nazwane zostało ostatnim twierdzeniem Fermata.

Dowód ostatecznie został przeprowadzony przez angielskiego matematyka Andrew Johna Wilesa dopiero w roku 1994, co było jedną z największych sensacji naukowych XX wieku. Zajmował ok. 100 stron A4 i wyrażony był w języku topologii i krzywych eliptycznych.

W rzeczywistości dowód twierdzenia Fermata przeprowadzony przez Wilesa ma dosyć długą historię, a jego głównymi elementami było postawienie w 1955 przez Taniyamę pewnych pytań na temat funkcji eliptycznych, jego późniejsze prace wraz z Shimurą i postawiona przez nich hipoteza Shimury-Taniyamy. W 1986 udowodniono, że istnieje związek między tą hipotezą a twierdzeniem Fermata. Późniejsze prace matematyków pokazały, że gdyby twierdzenie Fermata było fałszywe, to i hipoteza Shimury-Taniyamy byłaby fałszywa.

Wiles na wykładach w dniach 21, 22 i 23 lipca 1993 przedstawił dowód tej hipotezy w kilku przypadkach, w tym wymaganych do udowodnienia wielkiego twierdzenia Fermata. W roku 1995 Wiles opublikował dowód wielkiego twierdzenia Fermata na łamach Annals of Mathematics.

Wielu matematyków nadal szuka dowodu Wielkiego Twierdzenia Fermata na bazie teorii liczb. Istnieją dowody dla wybranych n podane przez takich matematyków jak Euler (n = 3), Dirichlet (n = 5, n = 14), Lamé (n = 7) i inni. Późniejsze prace innych matematyków i obliczenia numeryczne pozwoliły udowodnić wielkie twierdzenie Fermata dla wszystkich n < 1 000 000.

Wielkie twierdzenie Fermata w kulturze

Wielkie twierdzenie Fermata zostało wspomniane w serialu Star Trek: Następne pokolenie, w dwunastym odcinku drugiego sezonu zatytułowanym „The Royale”. Kapitan Jean-Luc Picard zastanawiał się nad dowodem tego twierdzenia w ramach gimnastyki umysłowej. Autorzy scenariusza tego odcinka, który został nakręcony w 1989 roku, zakładali, że dowód tego twierdzenia nie został odnaleziony aż do momentu, w którym dzieje się akcja serialu, czyli do drugiej połowy XXIV wieku. Było to zgodne z podejrzeniami wielu matematyków, uważających, że ten dowód nigdy w ogóle nie istniał. Opublikowanie w 1995 roku przez Andrew Johna Wilesa dowodu zostało jednak zauważone przez twórców seriali Star Trek, którzy w jednym z odcinków Star Trek: Stacja kosmiczna (Facets) wyprodukowanym w połowie 1995 roku, umieścili wzmiankę o samym Wilesie, wplatając wątek szukania dowodu na wielkie twierdzenie Fermata we wspomnienia jednej z postaci – Jadzii Dax.

O ostatnim twierdzeniu Fermata wspomina również Stieg Larsson w swojej powieści kryminalnej Dziewczyna, która igrała z ogniem z serii Millennium. Główna bohaterka Lisbeth Salander, o umyśle co najmniej nieprzeciętnym, próbuje dowieść prawdziwości tego twierdzenia.

W literaturze polskiej o wielkim twierdzeniu Fermata wspomniano w powieści dla młodzieży Kornela Makuszyńskiego Szatan z siódmej klasy. Jeden z głównych bohaterów, Iwo Gąsowski, matematyk amator, usiłuje znaleźć dowód na prawdziwość tego twierdzenia.

Ostatniemu twierdzeniu Fermata została również poświęcona książka S-F Arthura C. Clarke’a i Frederika Pohla Ostatnie twierdzenie. W książce bohater, Ranjit Subramanian, młody Lankijczyk, zainteresował się tym twierdzeniem i usiłuje dojść do odtworzenia oryginalnego dowodu, o którym Fermat napisał na marginesie. W książce jest wspomniane o dowodzie Wilesa, lecz Subramanian uważał, że dowód na nieistnienie sumy tych samych potęg wywodzących się z potęg boków przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest dużo prostszy niż dowód Wilesa.

Simon Singh w książce The Simpsons and Their Mathematical Secrets wskazuje na nawiązania do wielkiego twierdzenia Fermata występujące w serialu The Simpsons, gdzie przedstawione są nieprawdziwe, ale uprawdopodobnione równania obalające wielkie twierdzenie Fermata (np. „3987¹² + 4365¹² = 4472¹²”). Te wzmianki zostały umieszczone w tle serialu przez pracujących przy jego produkcji matematyków.

Zobacz też

• małe twierdzenie Fermata

Bibliografia

• Amir D. Aczel: Wielkie twierdzenie Fermata. Rozwiązanie zagadki starego matematycznego problemu. Warszawa: Prószyński i S-ka, 1998. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., Z armaty do muchy, „Delta”, styczeń 2016, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-10-30] .
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Fermat's Last Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-18].
• Fermat's last theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].

Nagrania na YouTube (ang.) [dostęp 2024-05-08]:

• Marcus du Sautoy, What is Fermat's Last Theorem? kanał University of Oxford, 15 marca 2016.
• What was Fermat’s “Marvelous" Proof?, kanał PBS Infinite Series, 9 marca 2018.
• Thirty years of proof: an interview with Andrew Wiles on the anniversary of Fermat's Last Theorem, kanał Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, 23 czerwca 2023.