Wcięcie kątowe w przód

Wcięcie kątowe w przód – jedno z podstawowych zagadnień geodezyjnych powszechnie stosowane do zagęszczania osnów poziomych.

Metoda pozwala wyznaczyć współrzędne pojedynczego szukanego (wcinanego) punktu W. Wcięcie kątowe jest jednoznacznie wyznaczalne, ponieważ liczba obserwacji u jest równa liczbie niewiadomych n, którymi są współrzędne (X_W,Y_W) punktu wcinanego. Punkt wcinany W zazwyczaj jest niedostępny.

W przypadku gdy punkty A i B są punktami osnowy geodezyjnej o znanych współrzędnych geodezyjnych, wówczas wcinany punkt W, po wykonaniu pomiarów i obliczeniu współrzędnych, będzie punktem osnowy niższego rzędu.

Dane

Danymi są dwa kąty poziome α i β pomierzone w trójkącie ABW na stanowiskach A i B, będących punktami o znanych współrzędnych.

Opis metody 1

• Obliczamy azymuty A_AB i A_BA
• Następnie obliczamy odległość |AB| ze wzoru(1):

$c=|AB|={\sqrt {(X_{A}-X_{B})^{2}+(Y_{A}-Y_{B})^{2}}}$

(1)

• Obliczenie azymutów A_AW i A_BW boków wcinanych AW i BW, zgodnie z rysunkiem wynoszą odpowiednio: A_AW=A_AB-α i A_BW=A_BA+β.
• Obliczamy długości boków wcinanych a, b na podstawie twierdzenia sinusów.

${\begin{matrix}a={\cfrac {c}{\sin(\alpha +\beta )}}\cdot \sin \alpha \\b={\cfrac {c}{\sin(\alpha +\beta )}}\cdot \sin \beta \end{matrix}}$

(2)

• Obliczamy przyrost współrzędnych boków wcinających AW i BW:

${\begin{matrix}\Delta X_{AW}=b\cdot \cos A_{AW}\\\Delta Y_{AW}=b\cdot \sin A_{AW}\end{matrix}}$

(3)

oraz

${\begin{matrix}\Delta X_{BW}=a\cdot \cos A_{BW}\\\Delta Y_{BW}=a\cdot \sin A_{BW}\end{matrix}}$

(4)

• Dwukrotne obliczamy współrzędne punktu W
  • na podstawie współrzęnych punktu A i przyrostów boku AW (3): X_W=X_A+ΔX_AW, Y_W=Y_A+ΔY_AW
  • na podstawie współrzęnych punktu B i przyrostów boku BW (4): X_W=X_B+ΔX_BW, Y_W=Y_B+ΔY_BW

Pełna zgodność obu par wyników stanowi pierwszą kontrolę rachunkową.

• Aby dokonać drugiej kontroli poprawności wyznaczenia współrzędnych punktu W należy obliczyć dwoma sposobami wartość trzeciego kąta γ trójkąta ABW:
  • na podstawie obserwacji wyjściowych, jako dopełnienia pomierzonych kątów α i β do 200^g lub 180°. γ=200^g-(α + β)
  • na podstawie wyników obliczeń, tj. współrzędnych punktu wciętego W i współrzędnych punktów znanych: A, B. Kąt γ obliczamy jako różnicę azymutów odcinków przyległych do niego: γ=A_WA-A_WB

Rezultaty obu obliczeń powinny być jednakowe.

Opis metody 2

Obliczenie za pomocą symboli Hausbrandta.

$(X_{W},Y_{W})={\begin{array}{|cc|cc|}X_{A}&Y_{A}&X_{B}&Y_{B}\\-1&\operatorname {ctg} \beta &+1&\operatorname {ctg} \alpha \end{array}}_{\,(1,2)}$

(5)

Po przekształceniu do postaci algebraicznej otrzymujemy dwa równania

${\begin{matrix}X_{W}={\cfrac {+X_{A}\cdot \operatorname {ctg} \beta +Y_{A}+X_{B}\cdot \operatorname {ctg} \alpha -Y_{B}}{\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta }}\\Y_{W}={\cfrac {-X_{A}+Y_{A}\cdot \operatorname {ctg} \beta +X_{B}+Y_{B}\cdot \operatorname {ctg} \alpha }{\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta }}\end{matrix}}$

(6)

• Kontrolę wcięcia przeprowadzamy tak samo jak w ramach metody 1, tj. przez dwukrotne obliczenie kąta γ:
• z dopełnienia kątów α i β do 200^g lub 180°. γ=200^g-(α + β)
• ze współrzędnych punktów A, B i W jw. lub z symboli Hausbrandta:

$\operatorname {tg} \gamma ={\begin{vmatrix}\Delta X_{WA}&\Delta Y_{WA}\\\Delta X_{WB}&\Delta Y_{WB}\end{vmatrix}}_{0}$

(7)

Zobacz też

• Wcięcie liniowe w przód

Bibliografia

• Jagielski Andrzej, Geodezja II, Wydawnictwo P.W.STABILL, ISBN 978-83-922884-3-5 str.254, (ISBN 83-918598-2-7, str.232)