Uogólniona macierz odwrotna

Uogólniona macierz odwrotna – uogólnienie pojęcia macierzy odwrotnej na macierze prostokątne. Zamiennie używa się pojęć pseudoodwrotności, pseudoinwersji. Pojęcie to opracowali niezależnie od siebie E. H. Moore w 1920 i Roger Penrose w 1955 roku. Wcześniej, w 1903, pomysł pseudoodwrotności operatorów całkowych zaproponował Fredholm. Artykuł traktuje o uogólnieniu zaproponowanym przez Moore’a i Penrose’a, istnieją jednak także inne uogólnienia macierzy odwrotnej, których artykuł ten nie obejmuje.

Definicja

Niech $A$ będzie macierzą nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Macierz $B$ nazywamy uogólnioną macierzą odwrotną do $A,$ jeżeli spełnia ona cztery poniższe warunki:

• $ABA=A,$
• $BAB=B,$
• $(AB)^{\star }=AB,$
• $(BA)^{\star }=BA,$

gdzie ${}^{\star }$ oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy.

Innym sposobem definiowania uogólnionej odwrotności jest określenie jej jako granicy:

$B=\lim _{\delta \to 0}(A^{\star }A+\delta I)^{-1}A^{\star }=\lim _{\delta \to 0}A^{\star }(AA^{\star }+\delta I)^{-1}.$

Definicja ta jest poprawna, ponieważ granice te istnieją nawet wówczas, gdy macierze $\left(AA^{\star }\right)^{-1}$ oraz $\left(A^{\star }A\right)^{-1}$ nie istnieją.

Dla macierzy nad ciałem liczb rzeczywistych sprzężenie hermitowskie jest równoważne transpozycji macierzy. Macierz $B$ jest wyznaczona jednoznacznie i jest wówczas oznaczana zwykle przez $A^{+}.$

Własności

Własności uogólnionej macierzy odwrotnej są podobne do własności zwykłej macierzy odwrotnej z tym, że każda macierz jest pseudoodwracalna (istnieje macierz do niej pseudoodwrotna):

• Pseudoodwrotność macierzy jest inwolucją

  $\left(A^{+}\right)^{+}=A.$

• Zachodzą następujące przemienności

  $\left(A^{T}\right)^{+}=\left(A^{+}\right)^{T}$ (z transpozycją),

  $\left({\overline {A}}\right)^{+}={\overline {\left(A^{+}\right)}}$ (ze sprzężeniem trywialnym),

  $\left(A^{\star }\right)^{+}=\left(A^{+}\right)^{\star }$ (ze sprzężeniem hermitowskim).

• Dla każdego $\alpha \neq 0$ zachodzi równość

  $\left(\alpha A\right)^{+}={\tfrac {1}{\alpha }}A^{+}.$

Zobacz też

• macierz odwrotna