Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym

Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym – twierdzenie podające warunek wystarczający na to, by ciągły operator liniowy działający między F-przestrzeniami (a więc w szczególności przestrzeniami Banacha) był odwzorowaniem otwartym.

Szczególny przypadek tego twierdzenia zwany jest twierdzeniem Banacha-Schaudera, a jednym z wniosków z tego twierdzenia jest twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym.

Twierdzenie

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi oraz $\Lambda \colon X\to Y$ będzie operatorem liniowym i ciągłym. Jeżeli $X$ jest F-przestrzenią oraz $\Lambda (X)$ jest podzbiorem drugiej kategorii przestrzeni $Y,$ to $\Lambda$ jest odwzorowaniem otwartym, $\Lambda (X)=Y$ oraz $Y$ jest F-przestrzenią.

Wnioski

Niech $X,Y$ będą F-przestrzeniami oraz $\Lambda \colon X\to Y$ będzie operatorem liniowym i ciągłym.

• Twierdzenie Banacha-Schaudera

Jeśli $\Lambda (X)=Y,$ to $\Lambda$ jest odwzorowaniem otwartym.

• Twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym

Jeżeli $\Lambda (X)=Y$ oraz $\Lambda$ jest odwzorowaniem różnowartościowym, to $\Lambda ^{-1}$ jest ciągłe.

• Jeżeli $X$ i $Y$ są przestrzeniami Banacha oraz $\Lambda$ jest bijekcją, to istnieją takie dodatnie stałe rzeczywiste $a,b,$ że

$a\|x\|\leqslant \|\Lambda x\|\leqslant b\|x\|$ dla każdego $x\in X.$

• Warunek wystarczający na równoważność norm zupełnych

Jeżeli $(X,\|\cdot \|_{1}),(X,\|\cdot \|_{2})$ są przestrzeniami Banacha oraz dla każdego ciągu $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ punktów przestrzeni $X$ spełniony jest warunek

$\lim _{n\to \infty }\|x_{n}\|_{1}=0\Rightarrow \lim _{n\to \infty }\|x_{n}\|_{2}=0,$

to normy $\|\cdot \|_{1}$ i $\|\cdot \|_{2}$ są równoważne.

• Jeżeli $(X,{\mathcal {T}}_{1}),(X,{\mathcal {T}}_{2})$ są F-przestrzeniami oraz ${\mathcal {T}}_{1}\subseteq {\mathcal {T}}_{2},$ to ${\mathcal {T}}_{1}={\mathcal {T}}_{2}$

Bibliografia

• Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001. Brak numerów stron w książce