Twierdzenie Zermela

Twierdzenie Zermela a. twierdzenie o dobrym uporządkowaniu – twierdzenie teorii mnogości zapewniające (na gruncie teorii ZFC), że na każdym zbiorze można wprowadzić relację dobrego porządku. Opublikowane w 1904 roku przez Ernsta Zermela.

Wnioski

Dla dowolnych dwóch zbiorów $X$ i $Y$ zachodzi

${\overline {X}}\geqslant {\overline {Y}}$ lub ${\overline {Y}}\geqslant {\overline {X}},$

gdzie przez ${\overline {X}}$ oznacza moc zbioru $X.$ Oznacza to, że

Moce dowolnych zbiorów są porównywalne

Jest tak, gdyż z twierdzenia Zermela każdy z danych dwóch zbiorów można dobrze uporządkować, a zatem zgodnie z twierdzeniem o zbiorach dobrze uporządkowanych jeden z nich jest odcinkiem początkowym drugiego, a co za tym idzie ma moc mniejszą lub równą od niego.

Związek z aksjomatem wyboru

Na gruncie teorii ZF zachodzi równoważność pomiędzy aksjomatem wyboru a twierdzeniem Zermela, tj. zakładając na gruncie ZF jedno z nich można udowodnić drugie.

Twierdzenie Zermela pociąga aksjomat wyboru

Istotnie, niech ${\mathcal {F}}$ będzie dowolną rodziną niepustych zbiorów. Z twierdzenia Zermela wynika, że istnieje dobry porządek $\leqslant$ na zbiorze $F=\bigcup {\mathcal {F}}.$ W szczególności każdy niepusty podzbiór zbioru $F$ ma element najmniejszy względem porządku $\leqslant .$ Jednakże dla każdego $A\in {\mathcal {F}}$ zachodzi inkluzja $A\subseteq F.$ Wynika stąd, że przyporządkowanie

$A\mapsto \min {}_{\leqslant }A\quad (A\in {\mathcal {F}})$

jest funkcją wyboru na ${\mathcal {F}},$ gdzie $\min {}_{\leqslant }A$ oznacza element najmniejszy w $A$ względem relacji $\leqslant .$

Bibliografia

• Thomas Jech, The Axiom of Choice. Amsterdam: North Holland, 1973.