Twierdzenie Wedderburna

Twierdzenie Wedderburna – twierdzenie algebraiczne mówiące, że skończone pierścienie z dzieleniem są przemienne; oznacza to, że taki pierścień jest wtedy ciałem skończonym . Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Wedderburna, który podał jego dowód w 1905 roku  (poniższy dowód pochodzi od Ernsta Witta i stanowi tłumaczenie zamieszczonego w książce André Weila, zob. Bibliografia).

Dowód

Niech $F$ będzie skończonym pierścieniem z dzieleniem (z jedynką) o charakterystyce $p.$ Niech $Z$ będzie jego centrum, a $q=p^{f}$ niech będzie liczbą elementów $Z.$ Jeśli wymiar $F$ jako przestrzeni liniowej nad $Z$ jest równy $n,$ to $F$ ma $q^{n}$ elementów. Grupę multiplikatywną $F^{*}$ niezerowych elementów pierścienia $F$ można rozbić na klasy elementów sprzężonych w następującej relacji równoważności:

dwa elementy $x_{1}$ i $x_{2}$ grupy $F^{*}$ są sprzężone, jeśli istnieje taki element $y$ grupy $F^{*},$ że $x_{2}=y^{-1}x_{1}y.$

Niech dla $x\in F^{*}$ symbol $N(x)$ oznacza centralizator elementu $x$ (względem mnożenia), czyli zbiór elementów pierścienia $F$ przemiennych z $x.$ Jest to podpierścień w $F$ zawierający $Z.$ Jeśli $\delta (x)$ jest wymiarem (w sensie przestrzeni liniowej) $N(x)$ nad $Z,$ to $N(x)$ ma $q^{\delta (x)}$ elementów. Liczba $n$ jest podzielna przez $\delta (x)$ i $\delta (x)<n$ dla $x\not \in Z.$

Ponieważ liczba elementów grupy $F^{*}$ sprzężonych z $x$ jest równa indeksowi grupy $N(x)^{*}$ w $F^{*},$ czyli

${\frac {q^{n}-1}{q^{\delta (x)}-1}},$

więc

(*) $q^{n}-1=q-1+\sum \limits _{x}{\frac {q^{n}-1}{q^{\delta (x)}-1}},$

gdzie sumowanie rozciąga się na pełny zbiór reprezentantów klas równoważności (w sensie sprzężenia) niecentralnych elementów z $F^{*}.$ Niech $n>1$ i niech

$P(T)=\prod \limits _{\zeta }(T-\zeta ),$

gdzie iloczyn przebiega wszystkie pierwiastki pierwotne $\zeta$ z jedynki $n$-tego stopnia w ciele liczb zespolonych. Wielomian ten ma współczynniki całkowite. Jeśli $\delta$ dzieli $n$ i jest różne od $n,$ to wielomian $P$ dzieli

${\frac {T^{n}-1}{T^{\delta }-1}}.$

Dlatego w (*) z wyjątkiem $q-1$ wszystkie składniki są podzielne przez $P(q)$ i dlatego $P(q)|q-1.$ Z drugiej strony każdy czynnik iloczynu

$P(q)=\prod \limits _{\zeta }(q-\zeta )$

ma wartość bezwzględną większą od $q-1,$ skąd sprzeczność. Zatem $n=1$ i $F=Z,$ czyli $F$ jest pierścieniem przemiennym.

Bibliografia

• André Weil: Basic number theory. Springer-Verlag, 1967. (ang.)., wyd. ros. 1972.
• J.H.M. Wedderburn. A theorem on finite algebras. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 6, s. 349–352, 1905. Amer. math. Soc.. (ang.). 
• Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Dowody z Księgi. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002.

Linki zewnętrzne

• Twierdzenie Wedderburna. planetmath.org. [zarchiwizowane z tego adresu (2008-12-02)]. na PlanetMath (ang.)