Twierdzenia Sylowa

Twierdzenia Sylowa – twierdzenia teorii grup autorstwa Petera Sylowa , czasem formułowane jako jedno twierdzenie Sylowa. Wynik ten jest częściowym odwróceniem twierdzenia Lagrange’a (rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu danej grupy), a zarazem uogólnieniem twierdzenia Cauchy’ego (o istnieniu podgrupy rzędu będącego liczbą pierwszą dzielącym rząd danej grupy).

Twierdzenia

Niech $p$ będzie liczbą pierwszą, która ponadto jest względnie pierwsza z liczbą naturalną $r$ (tzn. największy wspólny dzielnik $\mathrm {nwd} (p,r)=1$). Niech $G$ będzie grupą rzędu $|G|=p^{k}r,$ gdzie $k$ jest pewną nieujemną liczbą całkowitą; dowolną jej podgrupę rzędu $p^{i},$ gdzie $i=1,\dots ,k$ nazywa się $p$-podgrupą tej grupy, przy czym podgrupy rzędu $p^{k}$ nazywane są $p$-podgrupami Sylowa.

Pierwsze twierdzenie Sylowa

W grupie $G$ istnieje (co najmniej jedna) $p$-podgrupa Sylowa.

Drugie twierdzenie Sylowa

Wszystkie $p$-podgrupy Sylowa grupy $G$ są sprzężone, tzn. dla dowolnych $p$-podgrup Sylowa $H,K$ grupy $G$ istnieje taki automorfizm wewnętrzny $\varphi _{g}$ tej grupy ($\varphi _{g}(a)=gag^{-1}$), że $\varphi [H]=K.$

Trzecie twierdzenie Sylowa

Liczba $s_{p}$ wszystkich $p$-podgrup Sylowa grupy $G$ przystaje do jedynki modulo $p,$ tzn. $s_{p}\equiv 1{\bmod {p}}$ (czyli $p$ jest dzielnikiem $s_{p}-1,$ tj. $p|s_{p}-1$).

Wnioski

Z twierdzenia Lagrange’a wynika, że $p$-podgrupa Sylowa jest jej maksymalną (w sensie zawierania) $p$-podgrupą, a jej indeks równy $r$ nie jest podzielny przez $p,$ innymi słowy $s_{p}|r.$ Z drugiego twierdzenia wynika, że warunek $s_{p}=1$ jest równoważny normalności (a nawet charakterystyczności) $p$-podgrupy Sylowa. Z pierwszego i drugiego twierdzenia Sylowa wynika, że jeżeli $H$ jest $p$-podgrupą Sylowa w $G,$ zaś $K$ jest $p$-podgrupą normalną w $G,$ to istnieje taki element $g\in G,$ dla którego $K$ jest podgrupą normalną w $gHg^{-1}.$

Jeżeli $p$ jest dzielnikiem rzędu $|G|$ grupy $G,$ to w grupie tej istnieje element rzędu $p$ (tzw. twierdzenie Cauchy’ego); ponadto $s_{p}$ dzieli wtedy $|G|.$ Jeżeli każdy element $g\in G$ ma rząd postaci $p^{k},$ to $G$ jest $p$-grupą. Jeśli $p>q$ oraz $|G|=pq,$ gdzie $p,q$ są pewnymi liczbami pierwszymi, to w $G$ istnieje podgrupa normalna rzędu $p;$ jeżeli $q$ nie dzieli ponadto $p-1,$ to grupa $G$ jest cykliczna. W szczególności jeśli $q$ nie dzieli $p-1$ oraz $p$ nie dzieli $q-1,$ to jedyną grupą rzędu $pq$ jest suma prosta grup cyklicznych o rzędach $p$ i $q.$

Przykłady

Niech $G$ będzie grupą rzędu $33.$ Z twierdzeń Sylowa wynika, że grupa $G$ zawiera $11$-podgrupę $H_{11}$ rzędu $11$ (przynajmniej jedną), a ponadto $s_{11}|3$ oraz $11|s_{11}-1,$ skąd wynika, że $s_{11}=1$ i normalność $H_{11}.$ Podobnie $s_{3}|11$ oraz $3|s_{3}-1,$ skąd $3$-podgrupa Sylowa $H_{3}$ rzędu $3$ grupy $G$ również jest normalna. Obie te podgrupy są cykliczne (a stąd przemienne), zaś ich suma prosta jest izomorficzna z $G,$ co oznacza, że również jest przemienna i jest jedyną (z dokładnością do izomorfizmu) grupą rzędu $33.$ W podobny sposób można dokonać klasyfikacji grup rzędu $99$.

Rozumując w analogiczny sposób można dowieść, że jedynymi grupami rzędu $6$ (z dokładnością do izomorfizmu) są grupa cykliczna $\mathbb {Z} _{6}$ oraz grupa symetryczna $S_{3}.$

Bibliografia

• Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1972, s. 31-33.
• Jerzy Browkin: Teoria reprezentacji grup skończonych. Warszawa: PWN, 2010, s. 14-15. ISBN 978-83-01-16051-7.
• Czesław Bagiński: Wstęp do teorii grup. Warszawa: Script, 2002, s. 89-96. ISBN 83-904564-9-4.
• Michaił Iwanowicz Kargapołow, Jurij Iwanowicz Mierzlakow: Podstawy teorii grup. Warszawa: PWN, 1989, s. 107-108. ISBN 83-01-08736-6.
• Jean-Pierre Serre: Reprezentacje liniowe grup skończonych. Warszawa: PWN, 1988, s. 88-89. ISBN 83-01-07908-8.

Dowody

• Peter Ludwig Mejdell Sylow. Théorèmes sur les groupes de substitutions. „Math. Ann.”. 5 (4), s. 584-594, 1872. DOI: 10.1007/BF01442913. (fr.). 

• Giuseppina Casadio, Guido Zappa. History of the Sylow theorem and its proofs. „Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche”. 10 (1), s. 29–75, 1990. ISSN 0392-4432. MR1096350. (wł.). 
• Rod Gow. Sylow's proof of Sylow's theorem. „Irish Mathematical Society Bulletin”, s. 55–63, 1994. ISSN 0791-5578. MR1313412. 
• Florian Kammüller, Lawrence C. Paulson. A formal proof of Sylow's theorem. An experiment in abstract algebra with Isabelle HOL. „Journal of Automated Reasoning”. 23 (3), s. 235–264, 1999. DOI: 10.1023/A:1006269330992. ISSN 0168-7433. MR1721912. 
• Michael Meo. The mathematical life of Cauchy's group theorem. „Historia Math.”. 31 (2), s. 196–221, 2004. DOI: 10.1016/S0315-0860(03)00003-X. ISSN 0315-0860. MR2055642. 
• Winfried Scharlau. Die Entdeckung der Sylow-Sätze. „Historia Math.”. 15 (1), s. 40–52, 1988. DOI: 10.1016/0315-0860(88)90048-1. ISSN 0315-0860. MR931678. (niem.). 
• William C. Waterhouse. The early proofs of Sylow's theorem. „Archive for History of Exact Sciences”. 21 (3), s. 279–290, 1980. DOI: 10.1007/BF00327877. ISSN 0003-9519. MR575718. 
• Helmut Wielandt. Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen. „Archiv der Mathematik”. 10 (1), s. 401–402, 1959. DOI: 10.1007/BF01240818. ISSN 0003-9268. MR0147529. (niem.). 

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Sylow Theorems, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-10].
• Sylow theorems (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-10].