Twierdzenie Radona-Nikodýma

Twierdzenie Radona-Nikodýma – twierdzenie teorii miary mówiące o reprezentacji pewnych σ-addytywnych funkcjonałów na przestrzeniach mierzalnych, czyli miar. Twierdzenie sformułowane przez Johanna Radona zostało uogólnione przez Ottona M. Nikodýma w 1930 r.

David Fremlin opisuje to twierdzenie oraz środki techniczne potrzebne do jego dowodu jako znajdujące się wśród sześciu najważniejszych wyników teorii miary^[1].

Oznaczenia i podstawowe definicje

$\Omega$ jest dowolnym zbiorem, natomiast ${\mathcal {A}}$ jest σ-ciałem jego podzbiorów. Na σ-ciele ${\mathcal {A}}$ ustalone są z kolei pewne funkcje $\mu \colon {\mathcal {A}}\longrightarrow [0,+\infty ],\nu \colon {\mathcal {A}}\longrightarrow \mathbb {R} .$

Funkcja $\nu$ nazywana jest σ-addytywną, jeśli dla każdego ciągu parami rozłącznych zbiorów $A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}$ spełniony jest warunek

\nu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\nu (A_{n}).

Jeśli $\mu$ jest miarą oraz $\nu$ jest σ-addytywną funkcją zbiorów, to mówi się, że $\nu$ jest bezwzględnie (absolutnie) ciągła względem $\mu$ (ozn. $\nu \ll \mu$ ), gdy dla każdego $A\in {\mathcal {A}}$ spełniony jest warunek

\mu (A)=0\Rightarrow \nu (A)=0.

Twierdzenie Radona-Nikodýma

Niech $\nu$ będzie σ-addytywną funkcją zbioru oraz $\mu$ będzie miarą σ-skończoną. Jeśli $\nu$ jest absolutnie ciągła względem $\mu ,$ to istnieje taka funkcja $h\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ (zob. przestrzeń L^p), że dla $A\in {\mathcal {A}}$

Ilustracja konieczności założenia absolutnej ciągłości miar – nośniki miar są oznaczone jako

S_{\mu }

i

S_{\nu }.

Miary mają wartość 0 na zbiorach poza swoimi nośnikami. Całka po zbiorze A względem miary

\mu

jest równa 0, bo leży on poza jej nośnikiem; z kolei

\nu (A)>0,

więc twierdzenie nie może być spełnione. Konieczne jest więc założenie

S_{\nu }\subseteq S_{\mu },

czyli po prostu

\color {blue}\nu \ll \mu .

\nu (A)=\int \limits _{A}hd\mu .

Funkcja $h$ wyznaczona $\mu$ -prawie wszędzie, nazywana jest pochodną Radona-Nikodýma funkcji $\nu$ względem $\mu$ i oznaczana jest symbolem

h={\frac {d\nu }{d\mu }}.

Własności

Jeżeli $\lambda \colon {\mathcal {A}}\to \mathbb {R}$ jest σ-addytywną funkcją zbiorów bezwzględnie ciągłą względem $\mu$ oraz $\lambda \leqslant \nu ,$ to

${\frac {d\lambda }{d\mu }}\leqslant {\frac {d\nu }{d\mu }},$

${\frac {d(a\lambda +b\nu )}{d\mu }}=a{\frac {d\lambda }{d\mu }}+b{\frac {d\nu }{d\mu }}$

o ile $a\lambda ,b\nu >-\infty$ stale lub $a\lambda ,b\nu <+\infty$ stale dla liczb rzeczywistych $a,b.$

Twierdzenie o zamianie miary

Pod założeniami twierdzenia Radona-Nikodýma, jeżeli $A\in {\mathcal {A}}$ oraz $f\in L^{1}(A,{\mathcal {A}}|_{A},\nu ),$ to $f{\frac {d\nu }{d\mu }}\in L^{1}(A,{\mathcal {A}}|_{A},\mu )$ oraz

\int \limits _{A}fd\nu =\int \limits _{A}f{\frac {d\nu }{d\mu }}d\mu .

Zobacz też

Przypisy

↑ Fremlin, David H.: Measure Theory. T. 2: Broad Foundations. Torres Fremlin, 2001, s. 107. ISBN 0-9538129-2-8. Cytat: The Radon-Nikodym theorem must be on any list of the half-doze most important theorems of measure theory, and not only the theorem itself, but the techniques necessary to prove it, are at the heart of the subject. [1].

Bibliografia

Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 202–207.
Paul R. Halmos: Measure theory. New York, Springer-Verlag [1974, c1950], s. 128–136. ISBN 0-387-90088-8.
Joseph Diestel, Jerry Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002. ISBN 978-0821815151.

[1] Fremlin, David H.: Measure Theory. T. 2: Broad Foundations. Torres Fremlin, 2001, s. 107. ISBN 0-9538129-2-8. Cytat: The Radon-Nikodym theorem must be on any list of the half-doze most important theorems of measure theory, and not only the theorem itself, but the techniques necessary to prove it, are at the heart of the subject. [1].

[1]