Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej

Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej – twierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że całka Lebesgue'a funkcji będącej punktową granicą niemalejącego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych jest granicą ciągu całek z tych funkcji.

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henri Lebesgue’a.

Twierdzenie

Załóżmy że:

(a)

(X,{\mathcal {F}},\mu )

jest przestrzenią mierzalną z miarą,

(b)

f_{n}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}

(dla

n\in \mathbb {N}

) jest ciągiem funkcji mierzalnych,

(c)

0\leqslant f_{1}(x)\leqslant f_{2}(x)\leqslant f_{3}(x)\leqslant \ldots

dla każdego

x\in X,

(d) funkcja

f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}

jest zdefiniowana jako granica

f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)

dla

x\in X.

Wówczas funkcja $f$ jest mierzalna, ponadto $\int f\ d\mu =\lim _{n\to \infty }\int f_{n}\ d\mu .$

Powyższe twierdzenie dopuszcza przypadek, w którym funkcje $f_{n}$ oraz $f$ przyjmują wartość $\infty$ , jak również przypadek, gdy granica całek jest nieskończona^[1]. Twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie, a nie dla każdego $x.$

Szkic dowodu

Mierzalność funkcji granicznej jest zwykle dowodzona osobno; wynika ona z faktu, że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna^[1]. Załóżmy więc, że są spełnione warunki (a)-(d). Jak wspomnieliśmy, $f$ jest mierzalna. Ponieważ ciąg $\left(\int f_{n}d\mu \right)_{n\in \mathbb {N} }$ jest monotonicznie niemalejący (na mocy założenia (c)), więc jest on zbieżny, być może do granicy nieskończonej. Niech $C=\lim _{n\to \infty }\int f_{n}\ d\mu .$

Przypuśćmy, że $h\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$ jest całkowalną funkcją prostą taką, że $0\leqslant h\leqslant f.$ Ustalmy na jakiś czas liczbę $\alpha \in (0,1).$ Dla liczby naturalnej $n\in \mathbb {N}$ połóżmy

A_{n}=\{x\in X:\alpha \cdot h(x)\leqslant f_{n}(x)\}.

Oczywiście, $A_{n}\in {\mathcal {F}}$ (jako że zarówno $f_{n},$ jak i $h$ są mierzalne) oraz $A_{n}\subseteq A_{n+1}$ (używamy tu założenia (c)). Ponieważ $\alpha \cdot h(x)<f(x)$ ilekroć $f(x)>0,$ to używając założenia (d) widzimy, że $X=\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}.$ Zauważmy, że

(i)

{}\quad \alpha \cdot \int \limits _{A_{n}}h\ d\mu \leqslant \int \limits _{A_{n}}f_{n}\ d\mu \leqslant \int f_{n}\ d\mu .

Następnie, pamiętając że $h$ jest funkcją prostą, sprawdza się że

(ii)

{}\quad \lim _{n\to \infty }\int \limits _{A_{n}}h\ d\mu =\int \limits _{\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}h\ d\mu =\int h\ d\mu .

Przechodząc z $n$ do granicy w (i) i używając (ii), otrzymujemy

\alpha \cdot \int h\ d\mu \leqslant C.

Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla każdej liczby $\alpha \in (0,1),$ to otrzymujemy iż $\int h\ d\mu \leqslant C=\lim _{n\to \infty }\int f_{n}\ d\mu .$

Tak więc wykazaliśmy, że dla każdej funkcji prostej $h$ spełniającej nierówności $0\leqslant h\leqslant f,$ mamy, że $\int h\ d\mu \leqslant C,$ a więc funkcja $f$ spełnia $\int f\ d\mu \leqslant C.$ (Czytelnik może zechcieć skonsultować ten wniosek z definicją funkcji całki Lebesgue'a z funkcji mierzalnej nieujemnej.) Ponieważ jednocześnie $\int f_{n}\ d\mu \leqslant \int f\ d\mu$ (jako że $f_{n}\leqslant f$ ), to mamy też

\int f\ d\mu =C=\lim _{n\to \infty }\int f_{n}\ d\mu .

Zastosowania

Twierdzenie o zbieżności monotonicznej jest używane w niektórych dowodach lematu Fatou.
Jest ono również używane (przy odpowiednich założeniach o funkcjach $f_{1},f_{2},\dots$ ) do całkowań nieujemnych szeregów funkcyjnych:

\sum _{n}\int f_{n}\;d\mu =\int \;\sum _{n}f_{n}\;d\mu .

Zobacz też

Przypisy

↑ ^a ^b Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 23, 29.

Bibliografia

Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1998. ISBN 978-83-01-15801-9.
Ryszard Rudnicki: Wykłady z analizy matematycznej. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006.

[rudinzespolony-1] Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 23, 29.

[1]