Twierdzenie Lapunowa
Twierdzenie Lapunowa – twierdzenie teorii miar wektorowych mówiące, że obraz bezatomowej i ograniczonej miary wektorowej o wartościach w rzeczywistej przestrzeni euklidesowej jest wypukły i zwarty. Twierdzenie udowodnione po raz pierwszy w roku 1940 przez radzieckiego matematyka Aleksieja Lapunowa[1] doczekało się wielu nowych dowodów, z których najbardziej znany pochodzi z pracy Jorama Lindenstraussa z roku 1966[2]. Mimo prostoty samego twierdzenia każdy jego dowód jest nieefektywny (tzn. odwołuje się do pewnej wersji aksjomatu wyboru). W dowodzie Lindenstraussa wykorzystuje się twierdzenie Banacha-Alaoglu oraz twierdzenie Krejna-Milmana.
Twierdzenie
edytujTwierdzenie Lapunowa można sformułować korzystając jedynie z pojęć klasycznej teorii miary. Niżej znajduje się jedna z popularniejszych jego wersji przedstawiona w tym duchu:
- Niech będzie przestrzenią mierzalną, to znaczy niech oznacza σ-ciało określone na zbiorze oraz niech będą skończonymi i bezatomowymi miarami na Wówczas obraz funkcji danej wzorem
- jest zwartym i wypukłym podzbiorem przestrzeni
Przypisy
edytujBibliografia
edytuj- Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. PWN, Warszawa 2009