Twierdzenia o prędkości ewolucji stanu kwantowego

Twierdzenia o prędkości ewolucji stanu kwantowego – twierdzenia związane z fundamentalnymi ograniczeniami ewolucji kwantowej. W mechanice kwantowej określają minimalny czas konieczny, aby układ kwantowy mógł w drodze unitarnej ewolucji przejść pomiędzy dwoma ortogonalnymi stanami kwantowymi, znane również jako kwantowe ograniczenia prędkości.

Rozważmy wstępny, czysty stan kwantowy wyrażony jako superpozycja energetycznych stanów własnych

$\left|\psi (0)\right\rangle =\sum _{n}c_{n}\left|E_{n}\right\rangle .$

Jeżeli stan $\left|\psi (0)\right\rangle$ będzie ewoluował przez okres $\delta t$ zgodnie z równaniem Schrödingera stanie się stanem

$\left|\psi (\delta t)\right\rangle =\sum _{n}c_{n}e^{-i{\frac {E_{n}\delta t}{\hbar }}}\left|E_{n}\right\rangle ,$

gdzie $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ jest zredukowaną stałą Plancka a $i$ jest jednostką urojoną.

Jeżeli wstępny stan kwantowy $\left|\psi (0)\right\rangle$ jest ortogonalny do stanu po ewolucji $\left|\psi (\delta t)\right\rangle ,$ wówczas $\left\langle \psi (0)|\psi (\delta t)\right\rangle =0$ a minimalny okres $\delta t_{\perp }$ konieczny do zapewnienia tego warunku jest nazywany interwałem bądź czasem ortogonalizacji.

Twierdzenie Mandelstama-Tamma

Zgodnie z twierdzeniem Mandelstama-Tamma

$\delta E\delta t_{\perp }\geqslant \hbar {\frac {\pi }{2}}$,

gdzie

$(\delta E)^{2}=\left\langle \psi |H^{2}|\psi \right\rangle -(\left\langle \psi |H|\psi \right\rangle )^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{n,m}|c_{n}|^{2}|c_{m}|^{2}(E_{n}-E_{m})^{2}$

jest wariancją energii układu a $H$ jest operatorem Hamiltona. Twierdzenie to zostało udowodnione przez Leonida Mandelstama i Igora Tamma.

Dowód Szukamy najkrótszego interwału $\delta t_{\perp }$ takiego, aby

$|S(\delta t_{\perp })|^{2}=|\left\langle \psi (0)|\psi (\delta t_{\perp })\right\rangle |^{2}=0$.

Korzystając z wzoru Eulera i faktu, że sinus jest funkcją nieparzystą mamy

${\begin{aligned}|S(\delta t)|^{2}&=|\left\langle \psi (0)|\psi (\delta t)\right\rangle |^{2}=\sum _{n,m}|c_{n}|^{2}|c_{m}|^{2}e^{-i{\frac {\delta t}{\hbar }}\left(E_{n}-E_{m}\right)}=\\&=\sum _{n,m}|c_{n}|^{2}|c_{m}|^{2}\cos \left({\frac {\delta t}{\hbar }}\left(E_{n}-E_{m}\right)\right)\end{aligned}}$.

Zauważamy, że

${\begin{aligned}|S(\delta t)|^{2}&\geqslant 1-{\frac {4}{\pi ^{2}}}\sum _{n,m}|c_{n}|^{2}|c_{m}|^{2}{\frac {\delta t}{\hbar }}\left(E_{n}-E_{m}\right)\sin \left({\frac {\delta t}{\hbar }}\left(E_{n}-E_{m}\right)\right)\\&-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\sum _{n,m}|c_{n}|^{2}|c_{m}|^{2}\left({\frac {\delta t}{\hbar }}\left(E_{n}-E_{m}\right)\right)^{2}\end{aligned}}$,

ponieważ $\cos(x)\geqslant 1-{\frac {4}{\pi ^{2}}}x\sin(x)-{\frac {2}{\pi ^{2}}}x^{2},$ $\forall x\in \mathbb {R}$. Zauważamy, że

${\frac {d|S(\delta t)|^{2}}{d\delta t}}=-\sum _{n,m}|c_{n}|^{2}|c_{m}|^{2}\sin \left({\frac {\delta t}{\hbar }}\left(E_{n}-E_{m}\right)\right){\frac {E_{n}-E_{m}}{\hbar }}$.

Tym samym

$|S(\delta t)|^{2}\geqslant 1+{\frac {4}{\pi ^{2}}}\delta t{\frac {d|S(\delta t)|^{2}}{d\delta t}}-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\left({\frac {2\delta t}{\hbar }}\delta E\right)^{2}$.

Ponieważ $|S(\delta t)|^{2}\geqslant 0$ więc ${\frac {d|S(\delta t)|^{2}}{d\delta t}}=0$ jeżeli $S(\delta t)=0.$ zatem drugi wyraz zanika dla $\delta t=\delta t_{\perp }$ oraz

$0\geqslant 1-{\frac {1}{\pi ^{2}}}{\frac {4\delta t_{\perp }^{2}}{\hbar ^{2}}}\left(\delta E\right)^{2}$.

Jedynym stanem, dla którego powyższa nierówność jest równaniem jest kubit

$\left|\psi _{q}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle +\left|E_{1}\right\rangle \right)$

o zrównoważonej superpozycji energetycznych stanów własnych $\left|E_{0}\right\rangle =\left|0\right\rangle$ oraz $\left|E_{1}\right\rangle$.

Dowód Wymagamy, aby $\cos(x)=1-{\frac {4}{\pi ^{2}}}x\sin(x)-{\frac {2}{\pi ^{2}}}x^{2}$, czyli $x=0$ lub $x=\pm \pi$. Tym samym

${\frac {\delta t_{\perp }}{\hbar }}\left(E_{n}-E_{m}\right)=0\quad {\text{lub}}\quad {\frac {\delta t_{\perp }}{\hbar }}\left(E_{n}-E_{m}\right)=\pm \pi \quad \forall n,m,c_{n}\neq 0,c_{m}\neq 0$,

co zachodzi jedynie dla dwóch energetycznych stanów własnych $E_{0}=0$ oraz $E_{1}=\pm {\frac {\pi \hbar }{\delta t_{\perp }}}$, czyli dla stanu

$\left|\psi _{q}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e^{i\varphi _{0}}\left|0\right\rangle +e^{i\varphi _{1}}\left|\pm {\frac {\pi \hbar }{\delta t_{\perp }}}\right\rangle \right)$

unikalnego z wyłączeniem degeneracji energii $E_{1}$ oraz dowolnych współczynników fazowych $\varphi _{0}$ i $\varphi _{1}$ stanów własnych.

Twierdzenie Margolusa–Levitina

Zgodnie z twierdzeniem Margolusa–Levitina

$E_{avg}\delta t_{\perp }\geqslant \hbar {\frac {\pi }{2}}$,

gdzie

$E_{avg}=\left\langle \psi |H|\psi \right\rangle =\sum _{n}|c_{n}|^{2}E_{n}$

jest średnią energią układu a $H$ jest operatorem operatorem Hamiltona. Twierdzenie to zostało udowodnione przez Normana Margolusa i Lwa Levitina.

Wykresy zależności trygonometrycznych zastosowanych w nierównościach twierdzeń Mandelstama-Tamma i Margolusa–Levitina

Dowód Szukamy najkrótszego interwału $\delta t_{\perp }$ takiego, że

$S(\delta t_{\perp })=\left\langle \psi (0)|\psi (\delta t_{\perp })\right\rangle =\sum _{n}|c_{n}|^{2}e^{-i{\frac {E_{n}\delta t_{\perp }}{\hbar }}}=0$.

Zauważamy, że

${\begin{aligned}{\text{Re}}(S(\delta t))&=\sum _{n}|c_{n}|^{2}\cos \left({\frac {E_{n}\delta t}{\hbar }}\right)\geqslant \\&\geqslant \sum _{n}|c_{n}|^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}{\frac {E_{n}\delta t}{\hbar }}-{\frac {2}{\pi }}\sin \left({\frac {E_{n}\delta t}{\hbar }}\right)\right)=\\&=\sum _{n}|c_{n}|^{2}-{\frac {2\delta t}{\pi \hbar }}\sum _{n}|c_{n}|^{2}E_{n}-{\frac {2}{\pi }}\sum _{n}|c_{n}|^{2}\sin \left({\frac {E_{n}\delta t}{\hbar }}\right)=\\&=1-{\frac {2\delta t}{\pi \hbar }}E_{avg}+{\frac {2}{\pi }}{\text{Im}}(S(\delta t))\end{aligned}}$,

gdyż $\cos(x)\geqslant 1-{\frac {2}{\pi }}x-{\frac {2}{\pi }}\sin(x),\forall x\geqslant 0$. Ponieważ $S(\delta t_{\perp })=0$ wymaga ${\text{Re}}(S(\delta t_{\perp }))={\text{Im}}(S(\delta t_{\perp }))=0$ zatem

$0\geqslant 1-{\frac {2}{\pi }}{\frac {E_{avg}\delta t_{\perp }}{\hbar }}$.

Jedynym stanem, dla którego powyższa nierówność jest równaniem jest kubit

$\left|\psi _{q}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle +\left|E_{1}\right\rangle \right)$

o zrównoważonej superpozycji energetycznych stanów własnych $\left|E_{0}\right\rangle =\left|0\right\rangle$ oraz $\left|E_{1}\right\rangle$.

Dowód Wymagamy, aby $\cos(x)=1-{\frac {2}{\pi }}(x+\sin(x))$ co zachodzi dla $x=0$ or $x=\pi$, czyli jedynie dla dwóch energetycznych stanów własnych

${\frac {E_{n}\delta t_{\perp }}{\hbar }}=0\quad {\text{lub}}\quad {\frac {E_{n}\delta t_{\perp }}{\hbar }}=\pi \quad \forall n,c_{n}\neq 0$.

Zatem $E_{0}=0$ oraz $E_{1}={\frac {\pi \hbar }{\delta t_{\perp }}}$, a jedynym stanem, który to zapewnia jest kubit

$\left|\psi _{q}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e^{i\varphi _{0}}\left|0\right\rangle +e^{i\varphi _{1}}\left|{\frac {\pi \hbar }{\delta t_{\perp }}}\right\rangle \right)$

o zrównoważonej superpozycji energetycznych stanów własnych $\left|E_{0}\right\rangle$ i $\left|E_{1}\right\rangle$ unikalny z wyłączeniem degeneracji energii $E_{1}$ oraz dowolnych współczynników fazowych $\varphi _{0}$ i $\varphi _{1}$ stanów własnych.

Inne Powiązane Twierdzenia

Twierdzenia powiązane z twierdzeniami Mandelstama-Tamma i Margolusa–Levitina zostały udowodnione w 2009 przez Lwa Levitina i Tommaso Toffoliego.

Twierdzenie

W przypadku, gdy $E_{avg}\neq \delta E$ interwał ortogonalizacji spełnia

$\delta t_{\perp }\leqslant {\frac {\pi \hbar \left(1+e^{\ln {\left|{\frac {\delta E}{E_{avg}}}\right|}}\right)}{2E_{avg}\left(1+{\frac {\delta E}{E_{avg}}}\right)}}\left(1+\epsilon \right)={\frac {\pi \hbar }{2E_{avg}}}\left(1+\epsilon \right),\quad \forall \epsilon >0$.

Twierdzenie

Dla każdego stanu kwantowego $\left|\psi \right\rangle$ zachodzi

${\frac {E_{max}}{4}}<E_{avg}\leqslant {\frac {E_{max}}{2}}$,

gdzie $E_{max}$ jest maksymalną wartością własną tego stanu oraz

$\pi \hbar \leqslant E_{max}\delta t_{\perp }<2\pi \hbar$.

Dowód Niech

$S(\delta t_{\perp })=\left\langle \psi (0)|\psi (\delta t_{\perp })\right\rangle =\sum _{n}|c_{n}|^{2}e^{-i{\frac {\delta t_{\perp }}{\hbar }}E_{n}}=0$.

Załóżmy a contrario, że $E_{max}>{\frac {2\pi \hbar }{\delta t_{\perp }}}$. Możemy zdefiniować $E_{l}\doteq E_{max}-{\frac {2\pi \hbar }{\delta t_{\perp }}}>0$. Ale wówczas

$e^{-i{\frac {\delta t_{\perp }}{\hbar }}E_{l}}=e^{-i{\frac {\delta t_{\perp }}{\hbar }}E_{max}}e^{2\pi i}=e^{-i{\frac {\delta t_{\perp }}{\hbar }}E_{max}}$.

Zatem zamiana $E_{max}$ na $E_{l}>E_{max}$ nie zmienia $S(\delta t_{\perp })$, a tym samym zbiór wartości własnych energii jest ograniczony od góry. Aby udowodnić istnienie kresu dolnego na $E_{max}$, niech średnią energią będzie $E_{avg}^{(1)}$. Zauważamy, że zamiana poziomów energii $E_{n}$ w $S(\delta t_{\perp })$ na $E_{max}-E_{n}$ nie ma wpływu na ich ważność. Ale po takiej zamianie, średnia energia to $E_{avg}^{(2)}=E_{max}-E_{avg}^{(1)}$ i możemy wybrać $E_{avg}=\min \left(E_{avg}^{(1)},E_{avg}^{(2)}\right)$. Zatem $E_{avg}\leqslant {\frac {E_{max}}{2}}$. Wykorzystanie kresu na $E_{avg}$ z twierdzenia Margolusa–Levitina kończy dowód.

Ponadto

$\pi \hbar =E_{max}\delta t_{\perp }$

dla kubitu

$\left|\psi _{q}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle +\left|E_{max}\right\rangle \right)$

o zrównoważonej superpozycji.

Dowód Jeżeli $\delta t_{\perp }={\frac {\pi \hbar }{E_{max}}}$ wówczas

$S(\delta t_{\perp })=\sum _{n}|c_{n}|^{2}e^{-i\pi {\frac {E_{n}}{E_{max}}}}=\sum _{n}|c_{n}|^{2}\left(\cos \left(\pi {\frac {E_{n}}{E_{max}}}\right)-i\sin \left(\pi {\frac {E_{n}}{E_{max}}}\right)\right)=0$,

co zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy $E_{0}=0$, $E_{1}=E_{max}={\frac {\pi \hbar }{\delta t_{\perp }}},$ oraz $|c_{0}|^{2}=|c_{1}|^{2}={\frac {1}{2}}$.

Zobacz też

• Zasada nieoznaczoności
• Zasada Landauera