Tożsamość Czebyszewa

Tożsamość Czebyszewa to następująca równość:

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}\sum _{i=1}^{n}b_{i}=n\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=i+1}^{n}(a_{i}-a_{k})(b_{i}-b_{k}).$

Jej nazwa pochodzi od nazwiska rosyjskiego matematyka Czebyszewa.

Jeżeli założyć, że $(a_{i}-a_{k})(b_{i}-b_{k})\geqslant 0,$ to otrzymuje się stąd następującą nierówność, zwaną często nierównością Czebyszewa:

$n\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\geqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}\sum _{i=1}^{n}b_{i}.$

W szczególności, nierówność Czebyszewa zachodzi, gdy $a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant a_{3}\geqslant \dots \geqslant a_{n}$ oraz $b_{1}\geqslant b_{2}\geqslant b_{3}\geqslant \dots \geqslant b_{n}.$

Zobacz też

• nierówność Czebyszewa w rachunku prawdopodobieństwa

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Chebyshev Sum Inequality, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].