Tożsamość Bineta-Cauchy’ego

Tożsamość Bineta-Cauchy’ego – tożsamość algebraiczna, dająca następującą równość^[1]:

{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}{\bigg )}{\bigg (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}{\bigg )}={\bigg (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}{\bigg )}{\bigg (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}{\bigg )}+\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i}).

Równanie to jest spełnione dla liczb rzeczywistych i zespolonych (lub bardziej ogólnie dla elementów pierścienia przemiennego). Nazwa tożsamości pochodzi od nazwisk francuskich matematyków Augustina-Louisa Cauchy’ego i Jacques’a Philippe’a Bineta. Jeśli $a_{i}=c_{i}$ i $b_{j}=d_{j},$ to otrzymujemy tożsamość Lagrange’a.

Dowód

Rozpisujemy ostatnie wyrażenie,

{\begin{aligned}&\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})\\=&\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{i}d_{i}\\-&\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_{j}b_{i}c_{i})-\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}\end{aligned}}

i korzystając z przemienności mnożenia, zauważamy, że drugie i czwarte wyrażenia są takie same. Otrzymujemy więc:

=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j},

co kończy dowód po wymnożeniu wyrazów o indeksie $i.$

Uogólnienie

Ogólna postać, znana również jako wzór Cauchy’ego-Bineta, brzmi następująco: niech $A$ będzie macierzą o wymiarach $m\times n,$ a $B$ macierzą o wymiarach $n\times m.$ Jeśli $S$ jest podzbiorem $m$ -elementowym zbioru $\{1,2,\dots n\},$ to $A_{S}$ będzie macierzą o wymiarach $m\times m,$ której kolumny są kolumnami macierzy $A$ o indeksach ze zbioru $S,$ a $B_{S}$ macierzą o wymiarach $m\times m,$ której wiersze są wierszami macierzy $B$ o indeksach ze zbioru $S.$ Wtedy wyznacznik iloczynu macierzy $A$ i $B$ możemy zapisać jako: