Test dla proporcji

Testy dla proporcji – testy parametryczne służące do weryfikacji hipotez dotyczących wartości proporcji w populacji generalnej lub też do porównania wartości proporcji w kilku populacjach – na podstawie znajomości wartości tej proporcji w losowej próbie (czy też dwóch lub kilku próbach) pobranych z populacji.

Proporcją w statystyce nazywamy liczbę (ułamek, procent) wyrażający, jaka część elementów pewnego zbioru spełnia określony warunek. Inne równoważnie stosowane określenia to: frakcja, wskaźnik struktury. Na przykład jeśli w grupie $n$ osób jest $m$ palących, to proporcja osób palących w tej grupie jest równa

$p={\frac {m}{n}}.$

Struktura i podział testów

Hipotezy dotyczące proporcji testuje się zgodnie z ogólnymi zasadami testowania hipotez statystycznych: formułujemy hipotezy, zakładamy poziom istotności $\alpha$ – dopuszczalną wartość błędu pierwszego rodzaju, następnie na podstawie danych z próby wyznaczamy wartość statystyki testowej, po czym porównujemy ją z wartościami krytycznymi odczytanymi z tablic odpowiedniego rozkładu teoretycznego.

Postać stosowanej statystyki testowej zależy od następujących czynników:

• czy badamy hipotezę dotyczącą jednej, dwóch, czy wielu proporcji,
• jaka jest liczebność próby (prób) występujących w danym zagadnieniu,
• w przypadku dwu lub więcej prób – czy próby są niezależne, czy zależne (powiązane).

Poniżej przedstawiono w skrócie kilka testów najczęściej wykorzystywanych w poszczególnych sytuacjach.

Testy dla jednej proporcji (test dla prób dużych)

W próbie losowej o liczebności $n$ jest $m$ elementów spełniających pewien warunek. Wówczas proporcja w próbie $p={\frac {m}{n}}.$ Chcemy sprawdzić, czy taki wynik losowania pozwala przyjąć, że w całej populacji proporcja ta ma zadaną z góry wartość $p_{o}.$ Hipotezy mają postać:

$H_{0}:p=p_{0},$

$H_{1}{:}$ postać hipotezy alternatywnej zależy od sformułowania zagadnienia:

$p>p_{o}$

(1)

$p<p_{o}$

(2)

$p\neq p_{o}$

(3)

Założenia: próba musi być dostatecznie duża, to znaczy jej liczebność musi spełniać warunek $n>50,$ a otrzymana wartość proporcji z próby powinna spełniać warunek: $0,2<p<0,8.$ Można wtedy zastosować statystykę o rozkładzie normalnym.

Obliczamy:

$z={\frac {p-p_{o}}{\sqrt {\frac {p_{o}\cdot q_{o}}{n}}}},$

gdzie $q_{o}=1-p_{o}.$ Jeśli hipoteza zerowa $H_{0}$ jest prawdziwa, to statystyka $z$ ma w przybliżeniu standardowy rozkład normalny – wynika to z Centralnego Twierdzenia Granicznego.

Wartość tak obliczonej statystyki porównujemy z wartością krytyczną (lub dwiema wartościami krytycznymi) wyznaczonymi na podstawie poziomu istotności $\alpha$ dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym.

Wartości krytyczne znajdujemy z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego. Jeżeli $U$ jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego, a $U^{-1}$ – funkcją odwrotną do dystrybuanty, natomiast $\alpha$ – założonym poziomem istotności – to odczytujemy:

• dla przypadku (1):

$z_{kryt}=U^{-1}(1-\alpha )$

• w przypadku (2):

$z_{kryt}=U^{-1}(\alpha )=-U^{-1}(1-\alpha )$

• zaś w przypadku (3) mamy 2 wartości graniczne:

$z_{kryt1}=U^{-1}\left(1-{\frac {\alpha }{2}}\right)$

$z_{kryt2}=-z_{kryt1}.$

Przedział krytyczny:

• w przypadku (1) jest prawostronny, czyli gdy $z>z_{kryt}$ – odrzucamy $H_{0},$ w przypadku przeciwnym – nie ma podstaw do jej odrzucenia,
• w przypadku (2) przedział krytyczny jest lewostronny (dla $z<z_{kryt}$ odrzucamy $H_{0}$),
• w przypadku (3) przedział krytyczny jest obustronny (dla $z>z_{kryt1}$ i dla $z<z_{kryt2}$ odrzucamy $H_{0}$).

Testy dla dwóch proporcji

Dwie próby niezależne

Poniżej omówiono dwa testy – jeden dla dużych liczebności prób, oparty na statystyce $z$ o rozkładzie normalnym, analogiczny do omówionego powyżej dla jednej próby, drugi, możliwy do zastosowania przy nieco mniejszych liczebnościach prób, oparty na statystyce o rozkładzie chi-kwadrat.

Test dla dwóch prób dużych

Liczebności prób powinny spełniać relacje: $n_{1}>50$ i $n_{2}>50.$ Jeżeli spośród $n_{1}$ elementów pierwszej próby $m_{1}$ spełnia określony warunek, to proporcja z próby jest równa

$p_{1}={\frac {m_{1}}{n_{1}}}.$

Analogicznie dla drugiej próby:

$p_{2}={\frac {m_{2}}{n_{2}}}.$

Wyznaczamy proporcję dla „próby połączonej”:

${\bar {p}}={\frac {m_{1}+m_{2}}{n_{1}+n_{2}}}$

oraz ${\bar {q}}=1-{\bar {p}},$ a następnie wyznaczamy wartość statystyki $z{:}$

$z={\frac {p_{1}-p_{2}}{\sqrt {{\bar {p}}\cdot {\bar {q}}\cdot {\left({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}\right)}}}}.$

Statystyka ta ma rozkład normalny i wartości krytyczne oraz obszary krytyczne wyznaczamy dla tego testu tak samo, jak to opisano wcześniej w teście dla jednej proporcji.

Test dla dwóch prób o mniejszych liczebnościach (oparty na statystyce chi-kwadrat)

Tutaj liczebności muszą spełniać warunek $n=n_{1}+n_{2}>20.$

Liczby elementów spełniających lub nie spełniających zadanego warunku w poszczególnych populacjach można zapisać w tabeli 2×2:

Liczba elementów	Próba 1	Próba 2	Suma
spełniających warunek (TAK)	a	b	a + b
nie spełniających warunku (NIE)	c	d	c + d
Suma	n1=a+c	n2=b+d	n=a+b+c+d

Na podstawie tabeli obliczamy wartość statystyki z poprawką Yatesa:

$\chi ^{2}={\frac {\left(|ad-bc|-{\frac {n_{s}}{2}}\right)^{2}\cdot n}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}},$

gdzie:

$n_{s}={\frac {n_{1}\cdot n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}.$

Jeżeli liczebności prób są na tyle duże, że $n_{1}+n_{2}>40$ – można wówczas pominąć w liczniku składnik ${\frac {n_{s}}{2}}$ w nawiasie. Wartości krytyczne wyznacza się z tablic rozkładu chi-kwadrat o 1 stopniu swobody.

Dwie próby zależne

Ten przypadek występuje na przykład wtedy, gdy te same obiekty czy osoby stanowiące próbę są badane dwukrotnie w różnych warunkach. Wtedy zwykle liczebności obu prób są jednakowe: $n_{1}=n_{2}=n.$

Wynikiem takiego eksperymentu są 4 liczby, stwierdzające, ile obiektów w każdej z prób spełnia lub nie spełnia warunku. Wyniki takie można zestawić w tabelce 2×2:

Liczebności	Próba 2: TAK	Próba 2: NIE
Próba 1:TAK	a	b
Próba 1: NIE	c	d

Te same wyniki można też zaprezentować w postaci tabelki proporcji zamiast liczebności (gdzie np. $p_{11}={\tfrac {a}{n}},p_{10}={\tfrac {b}{n}}$ itd.)

Proporcje:	Próba 2: TAK	Próba 2: NIE
Próba 1:TAK	$p_{11}$	$p_{10}$
Próba 1: NIE	$p_{01}$	$p_{00}$

W zależności od liczebności prób możliwe są różne odmiany testu.

Liczebność duża

Jeżeli $n\geqslant {20},$ to wyznaczamy statystykę $z$ o rozkładzie normalnym z jednego ze wzorów:

$z={\frac {b-c}{\sqrt {b+c}}},$

$z={\frac {p_{10}-p_{01}}{\sqrt {\frac {p_{10}+p_{01}}{n}}}},$

$z={\frac {a-d}{\sqrt {a+d}}},$

$z={\frac {p_{11}-p_{00}}{\sqrt {\frac {p_{11}+p_{00}}{n}}}}.$

(Stosujemy dowolny z powyższych wzorów, zależnie od dostępnych danych).

Wartość statystyki $z$ porównujemy z wartością $z_{kryt}$ wyznaczoną z tablic rozkładu normalnego, przy czym postępowanie jest takie samo, jak opisane powyżej dla testu dla jednej proporcji.

Liczebność mała (test McNemara)

W tym przypadku hipotezy mają postać:

$H_{0}:p_{11}=p_{10}$ (proporcje w obu doświadczeniach są równe),

$H_{1}:p_{11}\neq {p_{10}}$ (proporcje w obu przypadkach różnią się istotnie).

Jeżeli $b+c>10$ oraz zarówno $b>5,$ jak i $c>5$ to można wykorzystać statystykę

$\chi ^{2}={\frac {(b-c)^{2}}{b+c}}.$

Jeżeli natomiast liczebności są jeszcze mniejsze, tak, że $b+c>10,$ ale $b<5$ lub $c<5,$ należy wykorzystać nieco zmodyfikowany wzór:

$\chi ^{2}={\frac {(|b-c|-1)^{2}}{b+c}}.$

Wartość krytyczną odczytujemy z tablic rozkładu chi-kwadrat dla danego poziomu istotności $\alpha$ i $\nu =1$ stopnia swobody. Obszar krytyczny testu jest prawostronny (odrzucamy $H_{0},$ gdy $\chi ^{2}>\chi _{kryt}^{2}$).

Testy dla wielu proporcji

Mamy tu $k$ prób o liczebnościach $n_{1},n_{2},\dots {n_{k}}.$ W i-tej próbie $m_{i}$ elementów spełnia zadany warunek, zatem proporcja w i-tej próbie jest równa $p_{i}={\frac {m_{i}}{n_{i}}}.$

Testujemy hipotezy:

$H_{0}:p_{1}=\dots =p_{k}$ (wszystkie proporcje w populacjach są jednakowe),

$H_{1}:\mathbf {nie} \ H_{0}$ (proporcje w poszczególnych populacjach różnią się).

Próby niezależne

Test Fishera-Snedecora

Jeżeli wszystkie liczebności $n_{i}\geqslant {20}$ to można wyznaczyć statystykę o rozkładzie Fishera-Snedecora. Obliczamy najpierw „średnią proporcję”

${\bar {p}}={\frac {\sum _{i=1}^{k}{n_{i}p_{i}}}{\sum _{i=1}^{k}{n_{i}}}}$

oraz

$F={\frac {\sum _{i=1}^{k}{n_{i}(p_{i}-{\bar {p}})^{2}}}{\sum _{i=1}^{k}{p_{i}(1-p_{i})}}}\cdot {\frac {k}{k-1}}.$

Otrzymaną wartość statystyki F porównujemy z wartością krytyczną odczytaną z tablic rozkładu Fishera-Snedecora dla założonego poziomu istotności $\alpha$ oraz liczby stopni swobody $\nu _{1}=k-1$ i $\nu _{2}=\infty .$ Obszar krytyczny jest prawostronny, czyli gdy $F>F_{kryt}$ – odrzucamy hipotezę $H_{0}.$

Próby zależne

Jeżeli mamy do czynienia z $k$ zależnymi próbami (seriami wyników) o jednakowej liczebności $n$ każda (np. $n$ osób jest poddawanych $k$ razy badaniu, którego wynik klasyfikujemy w kategoriach: tak, nie), przy czym liczebności są $n\geqslant 20,$ możemy wykorzystać test Cochrana do stwierdzenia, czy wyniki w poszczególnych doświadczeniach różnią się istotnie:

$H_{0}{:}$ wyniki poszczególnych serii nie różnią się istotnie,

$H_{1}{:}$ wyniki różnią się (zmiana warunków eksperymentu wpływa na wyniki).

Niech:

• $m_{i}$ oznacza, jak poprzednio, liczbę obiektów w i-tej próbie, które spełniają warunek (wynik Tak), to znaczy $i=1,2,\dots k,$ zaś $0\leqslant m_{i}\leqslant n,$
• $w_{j}$ oznacza liczbę prób, w których j-ty obiekt uzyskał wynik Tak – to znaczy $j=1,2,\dots n$ oraz $0\leqslant w_{j}\leqslant k.$

Obliczamy statystykę

$\chi ^{2}={\frac {(k-1)\left[{k\sum _{i=1}^{k}{m_{i}^{2}}-\left(\sum _{i=1}^{k}{m_{i}}\right)^{2}}\right]}{k\sum _{j=1}^{n}{w_{j}}-\sum _{j=1}^{n}{w_{j}^{2}}}},$

którą porównujemy z wartością krytyczną odczytaną z tablic rozkładu chi-kwadrat dla poziomu istotności $\alpha$ i $\nu =k-1$ stopni swobody. Obszar krytyczny testu jest prawostronny.

Bibliografia

• Fisher R.A., Yates F., Statistical tables for biological, agricultural and medical research, Oliver and Boyd, Edinburgh 1963.
• Zieliński R., Tablice statystyczne, PWN, Warszawa 1972.

Linki zewnętrzne

• Distribution Calculator Kalkulator obliczający prawdopodobieństwa i wartości krytyczne dla rozkładów: normalnego, Studenta, chi-kwadrat oraz F (Fishera-Snedeccora)