Tablica Cayleya
Tablica Cayleya – dla danego grupoidu (G, ·), macierz kwadratowa, której wiersze i kolumny są ponumerowane elementami grupoidu (w takiej samej kolejności), a w komórce znajdującej się na przecięciu a-tego wiersza i b-tej kolumny znajduje się iloczyn ab. Tablice Cayleya konstruuje się na ogół dla grupoidów rzędu skończonego, ale czasem korzystnie jest rozważać tablice Cayleya grupoidów rzędu nieskończonego[1]. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska brytyjskiego matematyka, Arthura Cayleya, który wprowadził je w 1854 w jednej ze swoich prac[2].
Przykładowo, dodawanie w Z2={0,1} obrazuje tablica:
+ 0 1 0 0 1 1 1 0
a mnożenie w Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} tablica:
0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1
Własności tablicy Cayleya
edytuj- Tablica Cayleya grupoidu jest symetryczna względem głównej przekatnej wtedy i tylko wtedy, gdy działanie grupoidu jest przemienne. Obie wyżej cytowane tablice Cayleya ilustrują działania przemienne.
- Grupa D3 symetrii trójkąta równobocznego ma następującą tablicę Cayleya:
R0 R1 R2 S0 S1 S2 R0 R0 R1 R2 S0 S1 S2 R1 R1 R2 R0 S1 S2 S0 R2 R2 R0 R1 S2 S0 S1 S0 S0 S2 S1 R0 R2 R1 S1 S1 S0 S2 R1 R0 R2 S2 S2 S1 S0 R2 R1 R0
- gdzie:
- jest przekształceniem identycznościowym
- jest obrotem dokoła środka trójkąta równobocznego o 120°
- jest obrotem dokoła środka trójkąta równobocznego o 240°
- są symetriami osiowymi względem symetralnych boków trójkąta
- Jak widać, działanie w grupie D3 nie jest przemienne, bo tabela nie jest symetryczna względem głównej przekątnej.
- Wiersz (kolumna) wyznaczony przez element neutralny działania jest identyczny z wierszem (kolumną) nagłówkowym.
- Jeśli grupoid jest grupą, to w każdym wierszu (w każdej kolumnie) tabeli Cayleya znaleźć można dokładnie raz element neutralny działania.
- Z tabeli Cayleya nie można bezpośrednio odczytać, czy działanie jest łączne. Są jednak metody, które pozwalają wykorzystać to narzędzie pośrednio, na przykład test łączności Lighta.
Przypisy
edytuj- ↑ A. H. Clifford, G. B. Preston: The algebraic theory of semigroups. Wyd. 1. American Mathematical Society, 1964., strona 18 wydania rosyjskiego.
- ↑ A. Cayley, On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1, Philosophical Magazine, Vol VII (1854), 40–47.
Linki zewnętrzne
edytuj
Cayley table (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].
