Szereg Laurenta

Szereg Laurenta funkcji zespolonej $f(z)$ to reprezentacja tej funkcji w postaci szeregu potęgowego, w którym występują również składniki o wykładniku ujemnym. Rozwinięcia tego używa się, gdy funkcji nie można rozwinąć w szereg Taylora. Nazwa szeregu pochodzi od nazwiska Pierre Alphonse Laurenta, który opublikował go w 1843 roku.

Ogólny wzór

Jeżeli funkcję $f(z)$ możemy zapisać jako sumę funkcji $\phi (z)$ oraz $\psi (z),$ takich że można je rozwinąć w zbieżne szeregi na pewnym obszarze D:

\phi (z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}

(część regularna)

\psi (z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{-n}(z-c)^{-n}

(część osobliwa)

gdzie c - dowolnie wybrana, stała liczba zespolona, zwana środkiem szeregu, to funkcję $f(z)$ przedstawiamy w postaci^[1]:

f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}.

Reprezentację taką nazywamy szeregiem Laurenta funkcji $f(z)=\phi (z)+\psi (z).$ Część regularna jest zbieżna w kole $|z-c|<R,$ a część osobliwa na zewnątrz koła $|z-c|\leqslant r$ gdzie

{\frac {1}{R}}=\limsup _{n\rightarrow \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}},

r=\limsup _{n\rightarrow \infty }|a_{-n}|^{\frac {1}{n}}.

Szereg Laurenta jest zbieżny w pierścieniu $r<|z-c|<R.$ Jeżeli funkcja $f(z)$ jest analityczna w tym pierścieniu, to daje się przedstawić w postaci szeregu Laurenta a współczynniki $a_{n}$ wyrażają się, za pomocą całki krzywoliniowej wzorem

a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}}.

gdzie $\gamma$ jest dowolną krzywą zamkniętą położoną w obszarze zbieżności i zorientowaną dodatnio względem swego wnętrza (obiegającą punkt $c$ jednokrotnie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).