Symbol q-Pochhammera

Symbol $q$-Pochhammera – $q$-analog zwykłego symbolu Pochhammera. Definiuje się ją wzorem

$(a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\dots (1-aq^{n-1}).$

Symbol $q$-Pochhammera jest zasadniczym elementem konstrukcyjnym $q$-analogów; na przykład w teorii podstawowych szeregów hipergeometrycznych (lub $q$-szereg hipergeometryczny; ang. basic hypergeometric series, hypergeometric $q$-series) odgrywa on tę samą rolę, co zwykły symbol Pochhammera w teorii szeregów hipergeometrycznych.

W przeciwieństwie do zwykłego symbolu Pochhammera symbol $q$-Pochhammera może być rozwinięty w iloczyn nieskończony:

$(a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).$

Jest to funkcja holomorficzna zmiennej $q$ we wnętrzu koła jednostkowego, może być ona również rozważana jako formalny szereg potęgowy zmiennej $q.$ Przypadek szczególny

$\phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})$

jest znany jako funkcja Eulera i jest ważny w kombinatoryce, teorii liczb i teorii form modularnych.

$q$-szereg to szereg, którego współczynnikami są funkcje zmiennej $q,$ zazwyczaj zależne od $q$ poprzez symbole $q$-Pochhammera.

Tożsamości

Skończony iloczyn może być wyrażony jako iloczyn nieskończony postaci

$(a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},$

który rozszerza definicję na ujemne liczby całkowite $n.$ Dla nieujemnych $n$ otrzymuje się więc

$(a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}$

oraz

$(a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.$

Symbol $q$-Pochhammera jest przedmiotem wielu tożsamości $q$-szeregów, w szczególności rozwinięć szeregów nieskończonych

$(x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}$

oraz

${\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}},$

które są przypadkami szczególnymi twierdzenia o $q$-dwumianie:

${\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.$

Interpretacja kombinatoryczna

Symbol $q$-Pochhammera jest blisko związany z kombinatoryką zliczania podziałów. Współczynnik $q^{m}a^{n}$ w

$(a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}$

jest liczbą podziałów $m$ na co najwyżej $n$ części.

Z własności sprzężenia podziałów liczba ta jest równa liczbie podziałów $m$ na części wielkości co najwyżej $n,$ utożsamienie szeregów generujących daje tożsamość wspomnianą w powyższej sekcji:

$(a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}.$

Jest też, że współczynnik $q^{m}a^{n}$ w

$(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})$

jest liczbą podziałów $m$ na $n$ bądź $n-1$ różnych części.

Usunąwszy podział trójkątny o $n-1$ częściach z takiego podziału uzyskuje się arbitralny podział na co najwyżej $n$ części. Daje to zachowującą wagę bijekcję między zbiorem podziałów na $n$ lub $n-1$ różnych części oraz zbiorem par składających się z podziałów trójkątnych o $n-1$ częściach i podziałem na co najwyżej $n$ części. Utożsamienie szeregów generujących prowadzi do następującej tożsamości:

$(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k},$

również opisanej w sekcji wyżej.

Samo twierdzenie o $q$-dwumianie może być także opisane za pomocą bardziej kombinatorycznych argumentów podobnego rodzaju.

Konwencja wielu argumentów

Ponieważ tożsamości zawierające symbole $q$-Pochhammera często zawierają iloczyny wielu symboli, standardową konwencją jest zapis iloczynu jako pojedynczego symbolu wieloargumentowego:

$(a_{1},a_{2},\dots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\dots (a_{m};q)_{n}.$

Związek z $q$-nawiasem i $q$-dwumianem

Zauważając, iż

$\lim _{q\to 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n,$

można zdefiniować $q$-analog n, znany także jako $q$-nawias lub $q$-liczbę n jako

$[n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$

Za jego pomocą można zdefiniować $q$-analog silni, $q$-silnię, jako

${\begin{aligned}{\big [}n]_{q}!&=[1]_{q}[2]_{q}\dots [n-1]_{q}[n]_{q}\\[1ex]&={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\dots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\[1ex]&=1(1+q)\dots (1+q+\ldots +q^{n-2})(1+q+\ldots +q^{n-1})\\[1ex]&={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.\end{aligned}}$

Raz jeszcze zwykłą silnię uzyskuje się, dążąc z $q$ do $1.$ Może to być interpretowane jako liczba flag w $n$-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem $q$-elementowym; biorąc granicę przy $q$ dążącym do $1,$ uzyskuje się interpretację uporządkowania zbioru (permutacji) jako flagi w przestrzeni liniowej nad ciałem jednoelementowym.

Za pomocą $q$-silnii można zdefiniować współczynniki $q$-dwumianowe, znane również jako współczynniki Gaussa, wielomiany Gaussa bądź dwumiany Gaussa:

${\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.$

Można sprawdzić, że

${\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}.$

Definiuje się również $q$-analog funkcji Gamma nazywany funkcją $q$-Gamma:

$\Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}.$

Zachodzą wzory

$\Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)$

oraz

$\Gamma _{q}(n+1)=[n]_{q}!.$

Funkcja $q$-Gamma zbiega do zwykłej funkcji Gamma wraz z $q$ dążącym do $1$ wewnątrz koła jednostkowego.

Zobacz też

• $q$-pochodna

Bibliografia

• George Gasper i Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
• Roelof Koekoek i Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, rozdział 0.2.

Linki zewnętrzne

• (ang.) Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., '"`UNIQ--math-00000053-QINU`"'-analog, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• (ang.) Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., '"`UNIQ--math-00000054-QINU`"'-nawias, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• (ang.) Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., '"`UNIQ--math-00000055-QINU`"'-silnia, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• (ang.) Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Współczynnik '"`UNIQ--math-00000056-QINU`"'-dwumianowy, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).