Stała Catalana

Stała Catalana to stała matematyczna, oznaczana jako K, pojawiająca się w oszacowaniach z dziedziny kombinatoryki. Jej definicja jest następująca:

$K=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\dots$

lub równoważnie

$K=-\int \limits _{0}^{\ 1}{\frac {\ln(t)}{1+t^{2}}}{\mbox{ d}}t$

Jej przybliżona wartość to

K = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 ... (ciąg A006752 w OEIS)

Nie jest wiadome czy K jest liczbą wymierną czy niewymierną.

Stała została nazwana na cześć matematyka belgijskiego, Eugène Charlesa Catalana.

Szybko zbieżne formuły do numerycznego obliczania stałej K

${\begin{aligned}K&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\tfrac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\tfrac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\tfrac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\tfrac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)\\&-2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\tfrac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\tfrac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\tfrac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\tfrac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)\end{aligned}}$

oraz

$K={\frac {\pi }{8}}\log({\sqrt {3}}+2)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}.$

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Catalan's Constant, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).