Srebrny podział

Srebrny podział – stała matematyczna, której nazwa nawiązuje do złotego podziału. Podobnie jak ilorazy dwóch kolejnych liczb Fibonacciego zbiegają do odwrotności złotej liczby (tzn. do $1/\varphi$), tak odwrotność srebrnej liczby jest granicą ilorazów dwóch kolejnych liczb Pella. Dwa odcinki będące w srebrnym podziale mają się więc do siebie tak, jak bok jednostkowego kwadratu do jego przekątnej.

Srebrny prostokąt

Srebrny podział w ośmiokącie foremnym

Definicja

Srebrny podział $(\delta _{S})$ definiuje się jako liczbę niewymierną, będącą sumą liczby 1 i pierwiastka kwadratowego z 2, czyli:

$\delta _{S}=1+{\sqrt {2}}\approx 2{,}41421\ 35623\ 73095\ 04880\ 16887\ 24210$

Z definicji wynika, że:

$(\delta _{S}-1)^{2}=2.$

Srebrny podział może być również zdefiniowany jako prosty ułamek łańcuchowy [2; 2, 2, 2,...]:

$\delta _{S}=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}$

Potęgi liczby srebrnej da się wyrazić tak:

$\delta _{S}^{n}=P(n)\delta _{S}+P(n-1)$ dla n>0, gdzie P(n) to n-ta liczba Pella, analogicznie do podobnej równości dla liczby phi wykorzystującej liczby Fibonacciego.

Wyprowadzenie

Dzielone części oznaczmy jako, a i b; z definicji s. podziału zachodzi: ${\frac {a}{b}}={\frac {2a+b}{a}}=\delta _{S},$ co można skrócić do ${\frac {a}{b}}=2+{\frac {b}{a}}=\delta _{S},$ więc $\delta _{S}=2+{\frac {1}{\delta _{S}}}.$ Jest to równanie kwadratowe, ma dodatni pierwiastek równy $\delta _{S}=1+{\sqrt {2}}$ (dla sposobu rozwiązania vide: równanie kwadratowe).

Właściwości trygonometryczne

Srebrny podział ma związek z kątem ${\frac {\pi }{8}}$.

$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{8}}=1+{\sqrt {2}}$

Wykorzystanie

Srebrny podział jest stosowany w architekturze – w Polsce według badania O. Vogta i in. wystąpił w 76% analizowanych budynków w Krakowie.