Splot (teoria grup)

teoria grup

Splot lub produkt splotowy – szczególny rodzaj produktu grup opartego na produkcie półprostym. Splot jest ważnym narzędziem ułatwiającym klasyfikację grup permutacji i konstrukcję interesujących przykładów grup.

Konstrukcja

edytuj

Niech   i   będą grupami działającymi odpowiednio na zbiorach   oraz   Dla   oraz   definiuje się następujące permutacje   oraz   zbioru  

 

oraz

 

Ponieważ   oraz   to   oraz   istotnie są permutacjami, przez co są dobrze określone. Funkcje   przy ustalonym   oraz  monomorfizmami odpowiednio grup   oraz   w grupę   o obrazach odpowiednio   oraz  

Splotem lub produktem splotowym grup   oraz   nazywa się grupę permutacji na   generowaną przez   i grupy   dla wszystkich   W zapisie symbolicznym

 

Ponieważ   przekształca   w element   i nie porusza   o ile   to z definicji jest

  oraz  
(1)

Ponadto jeśli   to permutacje   i   nie mogą poruszyć tego samego elementu   Wynika stąd, że grupy   generują swój iloczyn prosty   nazywany zwykle nośnikiem (ang. base group) splotu:

 

Zgodnie z (1) sprzężenie elementem   permutuje składniki proste   dokładnie w ten sam sposób, co   elementy   Skoro elementy   oraz   nie mogą poruszać tego samego elementu   to grupa   musi być trywialna. Ponieważ   oraz   to   jest iloczynem półprostym   przez   w którym automorfizm   wyznaczany przez element   zadany jest wzorem (1). Dla uproszczenia notacji utożsamia się zwykle element   z elementem   czyli przyjmuje  

Własności

edytuj
  • Jeśli   oraz   działają w sposób przechodni, to również   działa w ten sposób.
  • Niech   będzie grupą permutacji zbioru   zaś   będzie bijekcją odwzorowującą   a   funkcją   tzn. dla dowolnego   zachodzi   Wówczas   ustanawia podobieństwo   oraz   Innymi słowy splot jest działaniem łącznym względem podobieństwa grup.

Uogólnienia

edytuj

Niech   oraz   będą dowolnymi grupami. Niech dla każdego   symbol   oznacza grupę izomorficzną z   poprzez przekształcenie   Niech

 

będzie iloczynem kartezjańskim, zaś dla   oraz   niech działanie   dane będzie wzorem

 

Powyższe działanie   na   zadaje iloczyn półprosty   który nazywa się standardowym zupełnym splotem   przy czym   nazywa się nośnikiem (ang. base group).

Linki zewnętrzne

edytuj