Spirala hiperboliczna

Spirala hiperboliczna – krzywa płaska, dana we współrzędnych biegunowych wzorem:

Spirala hiperboliczna a = 2

$r={\frac {a}{\varphi }},$

gdzie $a$ – pewna stała. Gdy kąt $\varphi$ dąży do nieskończoności, to długość promienia wodzącego dąży do 0. W przypadku spirali hiperbolicznej biegun jest tzw. punktem asymptotycznym krzywej – spirala hiperboliczna zwija się nieskończenie wiele razy wokół niego, nigdy go nie osiągając.

Przechodząc od równania we współrzędnych biegunowych do równania we współrzędnych kartezjańskich za pomocą przekształceń:

${\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \end{cases}}$

równanie parametryczne spirali hiperbolicznej przyjmuje postać:

${\begin{cases}x(t)=a{\frac {\cos t}{t}}\\y(t)=a{\frac {\sin t}{t}}\end{cases}}$

gdzie $t$ – parametr równania.

Przy $t$ dążącym do zera spirala ma asymptotę:

$\lim _{t\to 0}x(t)=a\lim _{t\to 0}{\frac {\cos t}{t}}=\infty$

$\lim _{t\to 0}y(t)=a\lim _{t\to 0}{\frac {\sin t}{t}}=a\cdot 1=a.$

Własności

• Podstyczna spirali hiperbolicznej opisana jest równaniem $y=-a.$
• Wymiar pudełkowy spirali hiperbolicznej, jako spirali algebraicznej, jest większy od 1 (w przeciwieństwie do spirali logarytmicznej, której wymiar pudełkowy jest równy 1).

Zobacz też

• lista krzywych
• lituus
• spirala algebraiczna
• spirala Archimedesa
• spirala Galileusza
• spirala logarytmiczna

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.1. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 427, 439.
• Uriel Frisch: Advances in Turbulence VII (Fluid Mechanics and Its Applications). Springer, 1998, s. 344. ISBN 978-0792351153.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hyperbolic Spiral, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Hyperbolic spiral (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].