Sito Eratostenesa

Sito Eratostenesa
	; Przykładowe działanie Sita Eratostenesa
Struktura danych	Tablica, lista
	Złożoność
Czasowa
Pamięciowa

Sito Eratostenesa – algorytm wyznaczania wszystkich liczb pierwszych mniejszych od danej, czyli z zadanego przedziału $[2,n]$ ^[1]. Opiera się na eliminacji liczb złożonych.

Jest przypisywany Eratostenesowi z Cyreny, najpóźniej od XVIII wieku^[2].

Własności sita Eratostenesa mogą być użyte do oszacowania wartości funkcji pi (π) – dowodu nierówności $\pi (x)<{\frac {x}{\log \log x}};$ zrobił to w 1808 roku Adrien-Marie Legendre^[3].

Algorytm ten udoskonalono; powstały bardziej wydajne jak sito Atkina.

Algorytm

Ze zbioru liczb naturalnych z przedziału $[2,n],$ tj. $\{2,3,4,\dots ,n\},$ wybieramy najmniejszą, czyli 2, i wykreślamy wszystkie jej wielokrotności większe od niej samej, to jest $4,6,8,\dots$

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

Z pozostałych liczb wybieramy najmniejszą niewykreśloną liczbę (3) i usuwamy wszystkie jej wielokrotności większe od niej samej: $6,9,12,\dots ,$ przy czym nie przejmujemy się tym, że niektóre liczby (na przykład 6 czy 12) będą skreślane więcej niż raz.

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

Według tej samej procedury postępujemy dla liczby 5.

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

Następnie dla 7 aż do sprawdzenia wszystkich niewykreślonych wcześniej liczb.

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

Wykreślanie powtarzamy do momentu, gdy liczba $i,$ której wielokrotność wykreślamy, będzie większa niż ${\sqrt {n}}.$

Dla danej liczby $n$ wszystkie niewykreślone liczby mniejsze, bądź równe $n$ są liczbami pierwszymi.

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

Powyższy algorytm można zapisać w postaci następującego pseudokodu^[4]:

Wejście: liczba całkowita n > 1
 
Niech A będzie tablicą wartości logicznych indeksowaną liczbami całkowitymi od 2 do n
początkowo wypełniona wartościami true
 
 for i := 2, 3, 4, ..., nie więcej niż  ${\sqrt {n}}{:}$ 
  if A[i] = true:
    for j :=  2*i, 3*i, 4*i, ..., nie więcej niż n :
      A[j] := false
 
Wyjście: wartości i takie, że A[i] zawiera wartość true.

Przypisy

↑ Eratostenesa sito, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
↑ Jeff Miller, Sieve of Eratosthenes, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-06-10].
↑ Eratosthenes, sieve of (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-06-10].
↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Sieve of Eratosthenes, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-11-26] (ang.).

Linki zewnętrzne

Animacja sita Eratostenesa

[epwn-1] Eratostenesa sito, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .

[2] Jeff Miller, Sieve of Eratosthenes, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-06-10].

[eom-3] Eratosthenes, sieve of (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-06-10].

[4] Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Sieve of Eratosthenes, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-11-26] (ang.).

[1]

[2]

[3]

[4]

Przykładowe działanie Sita Eratostenesa
Struktura danych	Tablica, lista
Złożoność
Czasowa	$\mathrm {O} (n\cdot \log \log(n))$
Pamięciowa	$\mathrm {O} (n)$

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60