Siedemnastokąt foremny

Siedemnastokąt foremny to siedemnastokąt wypukły o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach równych – każdy z nich ma miarę ${\tfrac {180^{\circ }\cdot (17-2)}{17}}\approx 158{,}82^{\circ }.$

Konstruowalność

Siedemnastokąt foremny można skonstruować cyrklem i linijką. Możliwość konstrukcji udowodnił Carl Friedrich Gauss w 1796^[a], pierwszą bezpośrednią konstrukcję przedstawił jednak Erchinger kilka lat później – składała się aż z 64 kroków, toteż wkrótce zostały przedstawione inne.

Konstrukcja Richmonda

Jedną z elegantszych konstrukcji jest konstrukcja podana przez Herberta Williama Richmonda w 1893 roku^[1]^[2]:

Narysuj duży okrąg o środku w punkcie $O.$
Narysuj średnicę $UV.$
Skonstruuj symetralną tej średnicy, przecinającą okrąg w punkcie $A.$
Znajdź na odcinku $OA$ taki punkt $B,$ by długość $OB$ była równa ${\tfrac {1}{4}}$ długości $OA$ (dwukrotnie znajdując środek).
Narysuj odcinek $BV.$
Znajdź na odcinku $OV$ taki punkt $C,$ by kąt $\angle OBC$ był równy ${\tfrac {1}{4}}$ kąta $\angle OBV$ (dwukrotnie konstruując dwusieczną).
Znajdź na odcinku $UO$ taki punkt $D,$ by kąt $\angle DBC$ był równy połowie kąta prostego (miał miarę 45°).
Narysuj okrąg oparty na średnicy $DV.$ Punkt przecięcia tego okręgu z odcinkiem $OA$ oznacz $E.$
Narysuj okrąg o środku $C$ i promieniu $CE.$ Niech $F$ i $G$ będą punktami przecięcia tego okręgu ze średnicą $UV.$
Narysuj odcinki prostopadłe do średnicy $UV$ w punktach $F$ i $G.$ Punkty przecięcia tych odcinków z dużym okręgiem oznacz $V_{3}$ i $V_{5}.$
Punkty $V,$ $V_{3}$ i $V_{5}$ są kolejno zerowym, trzecim i piątym wierzchołkiem siedemnastokąta foremnego, pozostałe wierzchołki mogą być łatwo znalezione, np. wierzchołek $V_{4}$ poprzez skonstruowanie dwusiecznej kąta $\angle V_{3}OV_{5},$ a pozostałe poprzez odkładanie na okręgu odcinka $V_{3}V_{4}.$

Okręgi Carlyle’a

Konstrukcja z wykorzystaniem okręgów Carlyle’a

Inną znaną metodą konstrukcji siedemnastokąta foremnego jest algorytm wykorzystujący okręgi Carlyle’a^[3]:

Narysuj okrąg o środku $O.$
Przez punkt $O$ poprowadź poziomą prostą $k,$ punkty jej przecięcia z okręgiem oznacz $Q$ i $P$ (po lewej i prawej stronie punktu $O$ odpowiednio).
Narysuj symetralną $l$ średnicy $QP,$ punkt jej przecięcia z okręgiem (znajdujący się ponad prostą $k$ ) oznacz $R.$
Narysuj symetralną $m$ promienia $QO,$ jego środek oznacz $S.$
Zakreśl łuk o środku $S$ przechodzący przez $P,$ jego przecięcie z prostą $m$ (poniżej prostej $k$ ) oznacz $T.$
Narysuj okrąg o środku $T$ przechodzący przez punkt $R,$ punkty jego przecięcia z prostą $k$ oznacz $A_{1}$ i $A_{0}$ (po lewej i prawej stronie prostej $l$ odpowiednio).
Znajdź środki odcinków $OA_{0}$ i $OA_{1}$ i oznacz je odpowiednio $U$ i $V.$
Zakreśl łuk o środku $U$ przechodzący przez $R,$ punkt jego przecięcia z prostą $k$ (po prawej stronie prostej $l$ ) oznacz $B_{0}.$
Zakreśl łuk o środku $V$ przechodzący przez $R,$ punkt jego przecięcia z prostą $k$ (po prawej stronie prostej $l$ ) oznacz $B_{1}.$
Znajdź na prostej $l$ taki punkt $W$ (powyżej prostej $k$ ), aby $|OW|=|QB_{1}|.$
Narysuj odcinek $WB_{0},$ znajdź jego środek i oznacz go $X.$
Narysuj okrąg o środku $X$ przechodzący przez $R,$ punkt jego przecięcia z prostą $k$ (położony po prawej stronie punktu $P$ ) oznacz $C_{0}.$
Narysuj okrąg o środku $C_{0}$ i promieniu $OP,$ punkty jego przecięcia z wyjściowym okręgiem oznacz $P_{1}$ i $P_{16}.$
Punkty $P_{16},$ $P$ i $P_{1}$ są trzema kolejnymi wierzchołkami siedemnastokąta foremnego – pozostałe wierzchołki znajdujemy poprzez odkładanie odcinka $PP_{1}$ na wyjściowym okręgu.

Własności

Konstruowalność równoważna jest faktowi, że funkcje trygonometryczne kąta $2\pi /17$ można wyrazić jedynie przez cztery działania arytmetyczne oraz wyciąganie pierwiastka kwadratowego. Książka Gaussa Disquisitiones Arithmeticae zawiera poniższy wzór, przedstawiony tu we współczesnej notacji^[4]:

\cos {\frac {2\pi }{17}}=-{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16}}{\sqrt {17}}+{\frac {1}{16}}{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}.

Uwagi

↑ Gauss tak był dumny z tego odkrycia, że zażyczył sobie, aby figurę tę wyryto na jego grobie, jednak jego życzenie nie zostało spełnione, ponieważ ze względów technicznych trudno było wykuć siedemnastokąt tak, by widoczne było, że nie jest on kołem. Zamiast tego na grobie Gaussa umieszczono siedemnastoramienną gwiazdę.

Przypisy

↑ Richmond, H.W. A Construction for a Regular Polygon of Seventeen Sides, Quart. J. Pure Appl. Math. 26, 206-207, 1893.
↑ Constructing the Heptadecagon. [dostęp 2009-03-24].
↑ DeTemple, D. W. Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions.
↑ Nishiyama, Y. Gauss’ Method of Constructing a Regular Heptadecagon.

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Heptadecagon, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).

[1] Gauss tak był dumny z tego odkrycia, że zażyczył sobie, aby figurę tę wyryto na jego grobie, jednak jego życzenie nie zostało spełnione, ponieważ ze względów technicznych trudno było wykuć siedemnastokąt tak, by widoczne było, że nie jest on kołem. Zamiast tego na grobie Gaussa umieszczono siedemnastoramienną gwiazdę.

[2] Richmond, H.W. A Construction for a Regular Polygon of Seventeen Sides, Quart. J. Pure Appl. Math. 26, 206-207, 1893.

[3] Constructing the Heptadecagon. [dostęp 2009-03-24].

[4] DeTemple, D. W. Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions.

[5] Nishiyama, Y. Gauss’ Method of Constructing a Regular Heptadecagon.

[a]

[1]

[2]

[3]

[4]