Rozszerzenie algebraiczne

Rozszerzenie algebraiczne – w teorii ciał rozszerzenie $L$ ciała $K,$ którego każdy element jest algebraiczny nad $K.$

Rozważania nad rozszerzeniem ciała $K$ o pewien element $a,$ należący do ciała $L,$ które samo stanowi rozszerzenie ciała $K,$ Jerzy Browkin zaczyna od wprowadzenia pewnego homomorfizmu $\varphi ,$ mianowicie takiego, który elementom pierścienia wielomianów $K[x]$ przyporządkowywać będzie wartość, jaką dany wielomian przyjmuje po podstawieniu za $x$ $a.$ Formalizując, $\varphi (f(x))=f(a)$ ^[1].

Jądrem skonstruowanego w ten sposób homomorfizmu będzie zbiór tych tylko wielomianów z $K[x],$ które przyjmują dla zmiennej $a$ wartość $0.$ W dalszym ciągu przywołać należy, że $L$ stanowi ciało, a każde ciało jest dziedziną całkowitości^[1]. Dowodzi się zaś, że jeśli dany pierścień ilorazowy $P/I$ jest dziedziną całkowitości, to ideał $I$ jest pierwszy^[2]. Skoro tak, to i jądro rozpatrywanego homomorfizmu $\varphi$ musi być ideałem pierwszym. Pierścień wielomianów ma ideały pierwsze w postaci bądź ideału zerowego, bądź to ideałów maksymalnych, a każdy ideał tego pierścienia jest główny – skoro więc ma być to jednocześnie ideał maksymalny, będzie on generowany przez pewien wielomian nierozkładalny^[1].

W pierwszym przypadku jądrem $\varphi$ może być wielomian zerowy^[1]. Oznacza to, że żaden inny wielomian nie znika dla elementu $a.$ Element ten, nie będąc pierwiastkiem żadnego niezerowego wielominanu, określa się jako przestępny^[3]. Homomorfizm $\varphi$ będzie wtedy zanurzeniem^[1]. Wskazuje się wtedy izomorfizm pomiędzy zbiorem $f(a)$ a $K[x]$ i podobnie między zbiorem ilorazów elementów tego zbioru z $K(x).$ Dowodzi się w takim wypadku, że $K(a)$ jest izomorficzne z ciałem funkcji wymiernych od $x,$ co wskazuje na nieskończenie liczną bazę rozszerzenia $(K(a):K)$ ^[1].

W drugim przypadku jądrem $\varphi$ będzie ideał generowany przez pewien wielomian nierozkładalny $f,$ taki, że $a$ stanowi jego pierwiastek^[1]. Taki element rozszerzenia, będący pierwiastkiem niezerowego wielomianu z pierścienia $K[x],$ nazywa się elementem algebraicznym nad tym ciałem^[3]. Wobec powyższego każdy wielomian $g$ wzięty z $K[x],$ jeśli znika po podstawieniu $a$ za $x,$ to należy do jądra $\varphi .$ Z uwagi na właściwości tegoż jądra musi więc być wielokrotnością $f.$ Czyni to ten ostatni jedynym nierozkładalnym wielomianem przyjmującym dla $x$ wartość $0$ ^[1]. W dalszych rozważaniach korzysta się z twierdzenia o izomorfizmie. Wynika z niego, że izomorficzne w stosunku do siebie są dwa pierścienie, z których pierwszy to $\varphi (K[x]),$ a drugi to pierścień ilorazowy $K[x]$ przez $(f).$ Jako że $(f)$ oznacza tutaj ideał maksymalny generowany przez $f,$ drugi pierścień jest ciałem. Wobec izomorfizmu oba pierścienie to ciała. Pamiętając, że $\varphi$ przyporządkowuje wielomianowi z $K[x]$ jego wartość dla $a,$ dochodzi się do wniosku, że $\varphi (K[x])=K(a)$ ^[3].

Więcej informacji na temat ciała $K(a)$ otrzymać można, przedstawiając dowolny wielomian $g$ należący do $K[x]$ w postaci $g(x)=h(x)\cdot f(x)+r(x),$ gdzie $h$ stanowi iloraz z dzielenia $g$ przez $f,$ a $r$ stanowi resztę z tego dzielenia (i dlatego stopień wielomianu $r$ winien być mniejszy od stopnia $f$ ). Po podstawieniu $a$ w miejsce $x$ okazuje się, że $h(a)\cdot f(a)$ się zeruje i $g(a)=r(a).$ Wobec tego $K(a)=\{r\in K[x]\},$ pamiętając o warunku nałożonym na stopień $r.$ Można wykazać jednoznaczność przedstawienia elementów $K(a)$ poprzez $r(a).$ Oznacza to, że każdy element należący do $K(a)$ stanowi kombinację liniową elementów tworzonych poprzez podnoszenie $a$ do potęg od $0$ do o $1$ mniejszej od stopnia $f.$ Wobec tego zbiór tych potęg elementu $a$ stanowić będzie bazę dokonanego rozszerzenia. Ma ona dokładnie tyle elementów, ile wynosił stopień $f$ ^[3].

Z przeanalizowanych przypadków wynika, że w przypadku rozszerzenia ciała $K$ o element algebraiczny nad tym ciałem $a$ zawsze $(K(a):K)$ jest liczbą skończoną. Liczbę tę określa się jako stopień elementu $a$ względem ciała $K$ ^[3]. Stopień ten w przeanalizowanym przypadku równa się stopniowi rozpatrywanego nierozkładalnego wielomianu $f,$ który przyjmuje wartość $0$ po podstawieniu doń tego elementu i zwany jest sam wielomianem minimalnym dla tegoż elementu^[4].

Powyższe rozważania można rozszerzyć na dowolną liczbę elementów z $L.$ Dla elementów algebraicznych nad $K$ od $a_{1}$ do $a_{n}$ $K(a_{1},...,a_{n})=\{g(a_{1},...,a_{n}):g\in K[x_{1},...,x_{n}]\}$ i $(K(a_{1},...,a_{n}):K)$ również jest liczbą skończoną^[5].

Jeżeli więc dla danego ciała $L,$ które stanowi rozszerzenie ciała $K,$ dla dowolnego jego elementu $a\in L$ zachodzi druga opisana sytuacja, to znaczy każdy element rzeczonego rozszerzenia jest algebraiczny nad $K,$ a żaden nie jest przestępny, to wtedy $L$ stanowi rozszerzenie algebraiczne $K$ ^[5].

Jak wynika z powyższych rozważań, rozszerzenie algebraiczne jest skończone. Prawdą jest także implikacja w drugą stronę: mianowicie każde rozszerzenie skończone ciała jest zarazem algebraiczne. Jeśli bowiem $(L:K)$ jest skończone, to dla każdego elementu $a$ wziętego z $L$ rozszerzenie $K(a)$ będzie podciałem $L.$ Wobec tego $(K(a):K)$ nie będzie mogło być większe od $(K:L),$ które przyjmuje skończoną wartość. W efekcie $(K(a):K)$ także będzie miało wartość skończoną. Wobec tego rozszerzenie to będzie podpadać pod drugi z rozważanych przykładów i element $a$ będzie algebraiczny nad tym ciałem. Jako że tyczy się to dowolnego elementu wybranego z ciała $L,$ rozszerzenie musi więc być algebraiczne^[5].