Niech
R
{\displaystyle R}
S
{\displaystyle S}
X
×
Y
.
{\displaystyle X\times Y.}
Iloczyn
R
{\displaystyle R}
S
{\displaystyle S}
∀
(
x
,
y
)
∈
X
×
Y
:
μ
R
∩
S
(
x
,
y
)
=
m
i
n
(
μ
R
(
x
,
y
)
,
μ
S
(
x
,
y
)
)
.
{\displaystyle \forall _{(x,y)\in X\times Y}:\mu _{R\cap S}(x,y)=min(\mu _{R}(x,y),\mu _{S}(x,y)).}
Zamiast minimum można użyć dowolnej
T
{\displaystyle T}
Suma
R
{\displaystyle R}
S
{\displaystyle S}
∀
(
x
,
y
)
∈
X
×
Y
:
μ
R
∪
S
(
x
,
y
)
=
m
a
x
(
μ
R
(
x
,
y
)
,
μ
S
(
x
,
y
)
)
.
{\displaystyle \forall _{(x,y)\in X\times Y}:\mu _{R\cup S}(x,y)=max(\mu _{R}(x,y),\mu _{S}(x,y)).}
Projekcja
R
{\displaystyle R}
S
{\displaystyle S}
p
r
o
j
R
n
a
V
=
∫
V
sup
x
j
1
,
…
,
x
j
t
μ
R
(
x
1
,
…
,
x
n
)
(
x
i
1
,
…
,
x
i
k
)
.
{\displaystyle proj\;R\;na\;V=\int \limits _{V}\sup _{x_{j_{1}},\dots ,x_{j_{t}}}{\frac {\mu _{R}(x_{1},\dots ,x_{n})}{(x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{k}})}}.}
W przypadku dwójkowym zapis jest prostszy (niech
R
{\displaystyle R}
X
×
Y
{\displaystyle X\times Y}
p
r
o
j
R
n
a
Y
=
∫
Y
sup
x
μ
R
(
x
,
y
)
y
.
{\displaystyle proj\;R\;na\;Y=\int \limits _{Y}\sup _{x}{\frac {\mu _{R}(x,y)}{y}}.}
Zamiast supremum , które jest niezbędne, gdy
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
maksimum .
Rozszerzenie cylindryczne
edytuj
Rozszerzenie cylindryczne
S
{\displaystyle S}
U
{\displaystyle U}
c
e
(
S
)
=
∫
U
μ
R
(
x
i
1
,
…
,
x
i
k
)
(
x
1
,
…
,
x
n
)
.
{\displaystyle ce(S)=\int \limits _{U}{\frac {\mu _{R}(x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{k}})}{(x_{1},\dots ,x_{n})}}.}
W przypadku dwójkowym (niech
F
{\displaystyle F}
zbiorem rozmytym definiowanym na
Y
{\displaystyle Y}
F
{\displaystyle F}
X
×
Y
{\displaystyle X\times Y}
(
x
,
y
)
∈
X
×
T
{\displaystyle (x,y)\in X\times T}
μ
F
(
y
)
,
{\displaystyle \mu _{F}\;(y),}
c
e
(
F
)
=
∫
X
×
Y
μ
F
(
y
)
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle ce(F)=\int \limits _{X\times Y}{\frac {\mu _{F}(y)}{(x,y)}}.}
Stąd
p
r
o
j
c
e
(
S
)
n
a
V
=
S
,
{\displaystyle proj\;ce(S)\;na\;V=S,}
c
e
(
p
r
o
j
R
n
a
V
)
≠
R
.
{\displaystyle ce\;(proj\;R\;na\;V)\neq R.}
Kombinacja zbiorów rozmytych i relacji rozmytej za pomocą rozszerzenia cylindrycznego i projekcji jest kompozycją i jest oznaczana przez
∘
{\displaystyle \circ }
Definicja
Niech
A
{\displaystyle A}
X
{\displaystyle X}
R
{\displaystyle R}
X
×
Y
.
{\displaystyle X\times Y.}
kompozycję
A
{\displaystyle A}
R
{\displaystyle R}
B
{\displaystyle B}
Y
{\displaystyle Y}
B
=
A
∘
R
=
p
r
o
j
(
c
e
(
A
)
∩
R
)
n
a
Y
{\displaystyle B=A\circ R=proj\;(ce(A)\cap R)\;na\;Y}
lub jeśli iloczyn jest utworzony za pomocą operacji minimum, a projekcja za pomocą operacji maksimum, to
μ
B
(
y
)
=
max
x
min
(
μ
A
(
x
)
,
μ
R
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle \mu _{B}(y)=\max _{x}\;\min \;(\mu _{A}(x),\mu _{R}(x,y))}
Nazywamy to kompozycją max-min .
Jeśli iloczyn jest utworzony za pomocą produktu, a projekcja za pomocą maksimum, to otrzymujemy
μ
B
(
y
)
=
max
x
μ
A
(
x
)
⋅
μ
R
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle \mu _{B}(y)=\max _{x}\;\mu _{A}(x)\cdot \mu _{R}(x,y).}
Nazywamy to kompozycją max-dot lub kompozycją max-produkt .
![{\displaystyle \mu _{R}:U\times V\to [0,1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1260958ae9d7bfa226a5c51b1fd8a3d66caada89)
