Reguła Masona

Reguła Masona (wzór Masona, ang. Mason’s gain formula, MGF) – metoda znajdowania transmitancji liniowego grafu przepływu sygnałów.

Wstęp

Wzór stanowi alternatywę dla algebraicznej metody znajdywania transmitancji, polega na oznaczeniu każdego sygnału, napisaniu równań opisujących jak sygnał zależy od innych sygnałów, a następnie rozwiązaniu kilku równań dla sygnału wyjściowego w kontekście sygnału wejściowego. Reguła Masona to metoda dochodzenia, krok po kroku, do uzyskania transmitancji z grafu przepływu sygnałów. Często wzór Masona w danym przypadku może być określony po zapoznaniu się z grafem przepływu sygnałów. Metoda ta w prosty sposób pozwala na analizę grafów przepływu sygnałów z wieloma zmiennymi i pętlami zawierającymi pętle w tym pętli zawierających już w sobie wewnątrz pętle. Reguła Masona pojawia się często w zagadnienia teorii sterowania i filtrów cyfrowych dlatego, że układy regulacji i filtry cyfrowe są często przedstawiane za pomocą grafów przepływu sygnałów.

Wzór

Wzór na wzmocnienie przedstawia się następująco:

$G={\frac {y_{\text{out}}}{y_{\text{in}}}}={\frac {\sum _{k=1}^{N}{G_{k}\Delta _{k}}}{\Delta }},$

$\Delta =1-\sum L_{i}+\sum L_{i}L_{j}-\sum L_{i}L_{j}L_{k}+\ldots +(-1)^{m}\sum \ldots +\dots ,$

gdzie:

• $G$ = całkowite wzmocnienie pomiędzy $y_{\mathrm {in} }$ i $y_{\mathrm {out} }$
• $y_{\mathrm {out} }$ = zmienna węzła wyjściowego
• $y_{\mathrm {in} }$ = zmienna węzła wejściowego
• $N$ = całkowita liczba ścieżek w przód pomiędzy $y_{\mathrm {in} }$ i $y_{\mathrm {out} }$
• $G_{k}$ = wzmocnienie $k$-tej ścieżki w przód pomiędzy $y_{\mathrm {in} }$ i $y_{\mathrm {out} }$
• $\Delta _{k}$ = współczynnik wartości $\Delta$ dla $k$-tej ścieżki do przodu, z usuniętymi pętlami stykającymi się z $k$-tą ścieżką w przód – to znaczy: usuwamy te części grafów, które tworzą pętle, pozostawiając części potrzebne dla ścieżki w przód.
• $\Delta$ = wyznacznik grafu
• $L_{i}$ = wzmocnienie pętli każdej z zamkniętych pętli w układzie
• $L_{i}L_{j}$ = iloczyn wzmocnień pętli każdych dwóch (wszystkich zbiorów) niestykających się pętli (niemających wspólnych węzłów)
• $L_{i}L_{j}L_{k}$ = iloczyn wzmocnień pętli każdych trzech niestykających się pętli

Procedura

Aby skorzystać z omawianej metody:

• Należy przygotować listę wszystkich ścieżek w przód i oznakować je $G_{k}.$
• Należy:
  • przygotować listę wszystkich pętli i ich wzmocnień i oznakować je $L_{i}$ (dla $i$ pętli);
  • przygotować listę wszystkich par niestykających się pętli i iloczynów ich wzmocnień $(L_{i}L_{j});$
  • przygotować listę wszystkich niestykających się pętli branych za każdym razem potrójnie $(L_{i}L_{j}L_{k});$
  • następnie za każdym razem poczwórnie;
  • itd. aż już nie ma nic do wzięcia.
• Obliczyć współczynnik $\Delta$ i współczynniki $\Delta _{k}.$
• Zastosować wzór.

Rys historyczny

Wzór został wyprowadzony przez Samuela Jeffersona Masona i opublikowany w 1956 roku.